Моделирование процесса релаксации давления в полости плоской геометрии после ее опрессовки

№54-3,

физико-математические науки

Работа посвящена исследованию релаксации давления в полости, окруженной насыщенной газом пористой средой, после ее опрессовки. Получены интегральные уравнения, описывающие процесс релаксации давления в полости. Исследованы зависимости динамики релаксации давления от коллекторских характеристик пористой среды.

Похожие материалы

Оперативный контроль коллекторских характеристик прискважинной зоны позволяет оптимизировать процессы эксплуатации газовых месторождений и, тем самым, увеличивать продолжительность и эффективность эксплуатации скважин [2, 4-7]. Работа посвящена исследованию релаксации давления в полости, заполненной газом и окруженной насыщенной газом пористой средой, после ее опрессовки.

Основные уравнения. Пусть в исходном состоянии (t<0) давление газа во всем пористом пласте вокруг полости постоянно и равно p'0, а сама полость заполнена газом (рис. 1). В момент времени t=0 в полость дополнительно вводится газ и давление в ней мгновенно достигает значения p0. Далее за счет фильтрации газа в окружающее пористое пространство давление в полости стремится к значению p'0.

При описании этих процессов скелет пористой среды будем считать несжимаемым и однородным, а коэффициент вязкости газа не зависящим от температуры и давления. В рамках вышеизложенных допущений, учитывая, что изменение массы газа в полости происходит только за счет фильтрации газа через стенки полости в окружающую пористую среду, запишем уравнение сохранения массы газа в следующем виде:

\frac {d\rho_g}{dt}= \frac {1}{a}\rho _{g} \upsilon ,

где a - толщина трещины; \rho_g - плотность газа; \upsilon - скорость фильтрации газа через стенки полости.

Схематическое изображение полости плоской геометрии, окруженной насыщенной газом пористой средой
Рисунок 1. Схематическое изображение полости плоской геометрии, окруженной насыщенной газом пористой средой

Давление в окружающей полость пористой среде будем описывать с помощью нелинейного уравнения пьезопроводности [1]:

\frac{\partial p^{'}}{\partial t}= \frac{k}{m\mu_g} \frac{\partial}{\partial x}\bigg(p^{'}\frac{\partial p^{'}}{\partial x}\bigg), a<x<\infty.

Здесь \mu_g - коэффициент динамической вязкости газа; p' - давление газа вокруг полости; m и k - коэффициенты пористости и проницаемости окружающей полость пористой среды.

Учитывая, что в исходном состоянии давление газа во всем пористом пласте вокруг полости постоянно и равно начальное условие для уравнения (2) запишем в виде:

p^{'}=p^{'}_{0}, (t=0, x>a).

На стенке полости выполняется условие равенства давлений справа и слева

p^{'}=p(t), (t>0, x=a).

где p(t) - давление внутри полости.

Второе граничное условие для уравнения (2) имеет вид:

p^{'}=p^{'}_{0}, (t>0, x\rightarrow \infty).

Аналитическое решение нелинейного уравнения пьезопроводности общего вида для фильтрации газа (2) при условиях (3) - (5) не найдено. В работе это уравнение будем использовать в линеаризованном приближении. Для этого перепишем уравнение (2) в виде:

\frac{1}{p^{'}} \frac{\partial (p^{'})^j}{\partial t}= \frac{k}{m\mu_g} \frac{\partial^2(p^{'})^j}{\partial x^2},

где значения показателя степени j = 1 и 2 соответствуют обычной линеаризации и линеаризации по Лейбензону [3]. Заметим, что изменение p' мало относительно среднего значения этой величины, поэтому коэффициент при \frac{\partial (p^{'})^j}{\partial t} в левой части уравнения (6) можно считать постоянным.

Таким образом, если во всей области течения и для всех значений t величина p' мало отклоняется от своего начального значения, то уравнение (6) можно переписать в виде

\frac{\partial (p^{'})^j}{\partial t}= \kappa_g\frac{\partial^2(p^{'})^j}{\partial x^2},  \kappa_g=\frac{kp^{'}_{0}}{m\mu_g},

где \kappa_g - коэффициент пьезопроводности.

Для фильтрации газа в пористой среде вокруг полости используем закон Дарси:

\upsilon ^{'} = - \frac {k} {\mu_g } \frac{\partial p^{'}}{\partial x}, a<x<\infty,

где \upsilon ^{'} - скорость фильтрации газа вокруг полости. Граничное условие для уравнения (8) имеет вид:

\upsilon ^{'}=\upsilon, (t>0, x=a).

Для замыкания системы уравнений (1), (7) и (8), считая, что газ является калорически совершенным, запишем связь текущих значений плотности и давления в полости:

\frac {p}{p_0} = \bigg( \frac {\rho_{g} } {\rho_{g0} }\bigg)^\gamma,

где \gamma - показатель политропы, \rho_{g0} - начальное значение плотности газа в полости.

Подставляя в уравнение (1) величину \rho_g из (9), получим:

\frac {1} {p}  \frac {dp}{dt}= -\frac{\gamma}{a} \upsilon.

Уравнение (10) связывает давление внутри полости со скоростью фильтрации газа через ее стенки.

После некоторых преобразований в работе получены нелинейные интегральные уравнения, описывающие эволюцию давления внутри полости:

\ln \frac{p}{p_0}=- \frac {k\gamma}{a\mu_g\sqrt{ \pi\kappa_g}} \int^{t}_{0}\frac {p(t^{'})-p^{'}_{0}}{\sqrt{t - t^{'}}} dt^{'}, j=1,

p =p_0 - \frac {k\gamma}{2a\mu_g\sqrt{ \pi\kappa_g}} \int^{t}_{0}\frac {(p(t^{'}))^2-(p^{'}_{0})^{2}}{\sqrt{t - t^{'}}} dt^{'}, j=2.

Для дальнейшего анализа эти уравнения удобно представить в безразмерной форме:

\ln \frac{P}{P_0}=- \frac {m\gamma}{\sqrt{ \pi}} \int^{t}_{0}\frac {P(\tau ^{'}) - 1}{\sqrt{\tau - \tau^{'}}} d\tau^{'}, j=1,

P=P_0 - \frac {m\gamma}{2\sqrt{ \pi}} \int^{t}_{0}\frac {(P(\tau^{'}))^2-1}{\sqrt{\tau -\tau^{'}}} d\tau^{'}, j=2,

где P= \frac {p}{p^{'}_{0}}, t = \tau t_{ag}, t ^{'}= \tau ^{'} t_{ag}, t_{ag}=\frac {a^2}{\kappa _g}=\frac{a^2\mu_g m}{k p^{'}_{0}}, P_0=\frac {p_0}{p^{'}_0}, \tau= \frac {\pi}{\gamma^{2}m^2}\tilde{ \tau}.

Результаты численного расчета приведены на рис. 2. Здесь представлены зависимости безразмерного давления P от безразмерного времени \tilde{ \tau} , полученные в результате численного решения интегральных уравнений (12). Линии 1 и 2 соответствуют значениям P0 =5 и 2. Cплошные линии получены при обычной линеаризации, а пунктирные линии - при линеаризации по Лейбензону.

Релаксация безразмерного давления в полости при различных его начальных значениях (сплошные линии - обычная линеаризация, пунктирные - линеаризация по Лейбензону, линия 1 -- P0=5, 2 -- P0=2)
Рисунок 2. Релаксация безразмерного давления в полости при различных его начальных значениях (сплошные линии - обычная линеаризация, пунктирные - линеаризация по Лейбензону, линия 1 -- P0=5, 2 -- P0=2)

Из рис. 2 видно, что при описании процесса фильтрации с помощью уравнения пьезопроводности, линеаризованного по Лейбензону, восстановление давления происходит медленнее. С уменьшением разности между начальным значением давления в полости и значением давления вокруг полости отличия между решениями, полученными двумя способами линеаризации уравнения пьезопроводности, тоже уменьшаются (линии 2).

В результате исследований установлено:

  • время релаксации давления в полости имеет обратную зависимость от коэффициента проницаемости;
  • разница между решениями, полученными двумя способами линеаризации уравнения пьезопроводности, уменьшается с уменьшением начальной депрессии.

Список литературы

  1. Хафизов Р.М., Хусаинов И.Г., Шагапов В.Ш. Динамика восстановления давления в "вакуумированной" скважине // Прикладная математика и механика. – 2009. – Т. 73, № 4. – С. 615-621.
  2. Хусаинов И.Г. Воздействие акустическим полем на насыщенную жидкостью пористую среду // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 6; URL: http://www.science-education.ru/120-15160 (дата обращения: 31.10.2014).
  3. Хусаинов И.Г. Динамика релаксации давления в полости с плоско-параллельными стенками после ее опрессовки // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 5; URL: http://www.science-education.ru/119-15159 (дата обращения: 31.10.2014).
  4. Хусаинов И.Г. Оценка качества перфорации скважины акустическим методом // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 5; URL: http://www.science-education.ru/119-14505 (дата обращения: 09.09.2014).
  5. Хусаинов И.Г., Хусаинова Г.Я. Компьютерное моделирование процесса релаксации давления в сферической полости после опрессовки // Успехи современного естествознания. № 10. 2016, С. 167-170.
  6. Хусаинов И.Г., Хусаинова Г.Я. Исследование параметров пласта методом опрессовки // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 3; URL: http://www.science-education.ru/117-13813 (дата обращения: 04.07.2014).
  7. Хусаинов, И.Г. Эволюция импульса давления при прохождении через пористую преграду, расположенную в воде / И.Г. Хусаинов // Фундаментальные исследования. – 2014. – № 11–12. – С. 2645-2649.