Математическое моделирование поведения ротационного вискозиметра

№55-1,

физико-математические науки

Создана математическая модель движения внутреннего коаксиального цилиндра ротационного вискозиметра. Для различных зависимостей коэффициента вязкости неньютоновской жидкости от скорости сдвига с помощью этой модели можно описать движение цилиндра ротационного вискозиметра.

Похожие материалы

В современных технологических процессах часто приводит сталкиваться с неньютоновскими жидкостями. Как известно, при течении у таких жидкостей вязкость зависит от градиента скорости. Обычно подобные жидкости сильно неоднородны и состоят из крупных молекул, которые образуют сложные пространственные структуры, меняют свою плотность и вязкость при воздействии на них физической силой [5].

Исследования движения неньютоновских жидкостей в трубах, а также фильтрация этих жидкостей в пористых средах являются актуальными как с точки зрения практики, так и теории [2, 6-10].

Для измерения вязкости жидкости используются различные физические приборы. Один из самых распространенных типов приборов для определения вязкости - это ротационные вискозиметры [1]. Принцип действия наиболее часто используемых ротационных вискозиметров заключается в измерении силы сдвига в жидкой среде, расположенной между двумя коаксиальными цилиндрами (рис. 1). Здесь R - радиус внешнего цилиндра, r - радиус внутреннего цилиндра, \vec{w} - угловая скорость вращения двигателем внутреннего цилиндра, x - угол поворота. Один из цилиндров вращается двигателем, а второй - неподвижен. Исследуемая жидкость оказывает вязкое сопротивление его вращению и передает движение второму цилиндру.

Существует несколько преимуществ ротационной вискозиметрии: удобство в применении, возможность производить количественную оценку показателей режима деформации. Ротационный вискозиметр осуществляет производительные процессы на производствах различных областей применения: измерение вязкости нефтепродуктов, смазочных масел, расплавленных силикатов, металлов, лаков и прочих тягучих материалов. Кроме того, с их помощью можно измерить динамическую вязкость крахмала, красок, покрытий и чернил, битумов, лекарственных веществ, паяльных паст, продуктов личной гигиены и так прочее.

Схематическое изображение коаксиальных цилиндров ротационного вискозиметра
Рисунок 1. Схематическое изображение коаксиальных цилиндров ротационного вискозиметра

В данной работе выполнено математическое моделирование процесса вращения внутреннего коаксиального цилиндра ротационного вискозиметра.

Будем считать, что ширина зазора в вискозиметре мала по сравнению с радиусами цилиндров. Тогда течение жидкости между двумя коаксиальными цилиндрами ротационного вискозиметра можно рассматривать как течение жидкости между двумя параллельными бесконечно протяженными пластинами (рис. 2.). Расстояние между пластинами равно h. Нижняя бесконечно протяженная пластина неподвижна, а верхняя - подвижная и обладает достаточно большой площадью, чтобы можно было пренебречь краевыми эффектами. Верхняя пластина приводится в поступательное движение пружиной, одна сторона которой прикреплена к пластине, а другая - движется с постоянной скоростью v0.

Сдвиговое течение жидкости между двумя пластинами описывается уравнением

\rho \frac{\partial v}{\partial t} =\frac{\partial }{\partial y} \left(\mu \frac{\partial v}{\partial y} \right),}   {0<y<h} . (1)

Здесь v - скорость движения жидкости, $\rho$ - плотность жидкости, \mu - вязкость жидкости.

Для уравнения (1) первое граничное условие имеет вид

v\left(0,t\right)=0. (2)

Это условие означает, что на границе y=0 выполняется условие прилипания жидкости к нижней пластине. Второе граничное условие записывается при y=h

v\left(h,t\right)=v_{0} -\frac{dx}{dt}. (3)

Здесь v0 - постоянная скорость, с которой движется не прикрепленный к пластине конец пружины.

Схема движения жидкости между двумя параллельными пластинами
Рисунок 2. Схема движения жидкости между двумя параллельными пластинами

На верхнюю пластину действует сила со стороны пружины и сила сопротивления со стороны жидкости. Тогда уравнение движения этой пластины можно записать в виде

m\frac{d^{2} x}{d_{} t^{2} } -Q\cdot \mu \frac{\partial v}{\partial y} \begin{array}{c} {} \\ {\left|y=h\right. } \end{array}+f\cdot x=0, (4)

где x - абсолютное удлинение пружины, f - коэффициент жесткости пружины, m - масса верхней пластины, Q - площадь верхней пластины.

Для неньютоновских жидкостей коэффициент вязкости в уравнениях (1) и (4) зависит от скорости сдвига [3, 4].

Введем безразмерные переменные

\begin{array}{c} {V=\frac{v}{v_{0} } ,} & {\tau =\alpha \cdot t,} & {\xi =\frac{y}{h} ,} & {X=\frac{\alpha \cdot x}{v_{0} } .} & {} \end{array}

В безразмерных переменных уравнение (1) принимает следующий вид:

\chi \frac{\partial V}{\partial \tau } =\frac{\partial }{\partial \xi } \left(\mu \frac{\partial V}{\partial \xi } \right). (5)

Для уравнения движения верхней пластины (4) после преобразований получим:

\frac{d^{2} X}{d_{} \tau ^{2} } -\lambda \cdot \mu \frac{\partial V}{\partial \xi } \begin{array}{c} {} \\ {\left|\xi =1\right. } \end{array}+F\cdot X=0. (6)

Граничные условия (2) и (3) в безразмерных переменных запишутся следующим образом

V\left(0,\tau \right)=0, (7)

V\left(1,\tau \right)=1-\frac{d^{} X}{d^{} \tau }. (8)

В уравнениях (5) и (6) параметры определяются по формулам:

\lambda =\frac{Q}{m\cdot \alpha \cdot h}, F=\frac{f}{m\cdot \alpha ^{2} }, \chi =\rho \cdot \alpha \cdot h^{2}.

Вывод

Таким образом, построена математическая модель, описывающая процесс движения верхней пластины, т.е. внутреннего коаксиального цилиндра ротационного вискозиметра в зависимости от вязкости неньютоновской жидкости.

При известной зависимости коэффициента вязкости жидкости от скорости сдвига \left(\frac{\partial V}{\partial \xi } \right) можно определить график движения верхней пластины. Тогда с помощью этой модели можно объяснить колебательное движение цилиндра ротационного вискозиметра при измерении вязкости неньютоновской жидкости.

Список литературы

  1. Белкин, И. М. Ротационные приборы. Измерение вязкости и физико-механических характеристик материалов / И. М. Белкин, Г. В. Виноградов, А. И.Леонов. - М.: Машиностроение, 1967. – 272 с.
  2. Хусаинов И.Г. Акустическое зондирование перфорированных скважин короткими волнами // ПМТФ. – 2013. – Т 54. – №1. – С.86-93.
  3. Хусаинов И.Г. Воздействие акустическим полем на насыщенную жидкостью пористую среду // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 6; URL: http://www.science-education.ru/120-15160 (дата обращения: 31.10.2014).
  4. Хусаинов И.Г. Динамика релаксации давления в полости с плоско-параллельными стенками после ее опрессовки // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 5 – С. 794; URL: http://www.science-education.ru/119-15159 (дата обращения: 31.10.2014).
  5. Хусаинов И.Г. Моделирование процесса разрушения - восстановления структурных связей неньютоновских жидкостей // NovaInfo.Ru (Электронный журнал.) – 2016 г. – № 54; URL: http://novainfo.ru/article/8574
  6. Хусаинов И.Г. Отражение акустических волн в цилиндрическом канале от перфорированного участка // ПММ. – 2013. – Т. 77. – №3. – С.
  7. Хусаинов И.Г. Оценка качества перфорации скважины акустическим методом // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 5 – С. 787; URL: http://www.science-education.ru/119-14505 (дата обращения: 09.09.2014).
  8. Хусаинов И.Г., Хусаинова Г.Я. Исследование параметров пласта методом опрессовки // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 3 – С. 705; URL: http://www.science-education.ru/117-13813 (дата обращения: 04.07.2014).
  9. Хусаинов И.Г., Хусаинова Г.Я. Компьютерное моделирование процесса релаксации давления в сферической полости после опрессовки // Успехи современного естествознания. № 10. 2016, С. 167-170.
  10. Хусаинов И.Г. Эволюция импульса давления при прохождении через пористую преграду, расположенную в воде // Фундаментальные исследования. – 2014. – № 11–12. – С. 2645-2649; URL: www.rae.ru/fs/?section=content&op =show_article&article_id=10005306 (дата обращения: 24.12.2014).