Проектируя содержание прикладной математической подготовки бакалавра [6, 12] следует отметить, что существуют исследователи, которые не признают выделения прикладной математики из математики как таковой, но считают при этом «чистая» и «прикладная» математики - это две неразделимые стороны математики.
Мы придерживаемся точки зрения о том, что прикладная математика - это часть математики. Несмотря на то, что большинство математиков признают наличие прикладной математики (как части математики), мы пришли к выводу, что их позиция не является однородной. Основанием для различий является содержание ответа на вопросы
- во-первых, «что принимается за математику?»,
- во-вторых, «какая деятельность признается математической?»,
- в-третьих, «какая часть математики выдвигается на первый план в процессе ее применения?».
Коротко охарактеризуем сложившиеся к настоящему времени позиции.
Прикладная математика - это часть математики, инспирированная действительностью, которая не доведена до уровня формальной теории. С точки зрения этого подхода в область «Прикладная математика» следовало бы включить все то, что возникает непосредственно из реальных исследуемых проблем и ситуаций, что еще формально не отработано, не имеет достаточного уровня обобщения. В результате устранения этих «недостатков» мы получим «нормальную» математику.
Несмотря на то, что в литературе мы не находим именно такого явного определения прикладной математики, представленный выше взгляд присущ многим творческим математикам. Его основанием может быть убеждение, что сами исследуемые ситуации и проблемы реальной действительности являются неотработанными, неполными, недостаточно конкретными. Такую «прикладную теорию» можно считать промежуточным звеном между физическим миром и математикой и только после «точной» обработки со стороны математиков она становится собственно математикой.
Эта формально-логическая неотработанность с точки зрения И.И. Блехмана показывает не столько слабость, сколько силу прикладной математики, ибо указывает на новую область знаний, в которой дедукция не является единственной безусловной основой; она заменяется или пополняется эвристическими методами. Мы разделяем позицию А.Д. Александрова, который трактует математику как «идеальную технику», конструирующую исследовательский аппарат для другой науки. Он говорит прямо: нет смысла спрашивать, правдив или фальшив аппарат. Аппарат работает или нет, является продуктивным или непродуктивным. Чтобы математический аппарат мог работать, он не может вести к противоречию. В описании аппарата следует учесть логический плюрализм: разные степени абстракции, разные степени точности (точность на уровне экономиста, физика, математика, логика-специалиста и т.д.).
Прикладная математика как часть математики, которая находится вне ее ядра. Существует доклад, представленной Комитетом содействия математическими исследованиям Национального совета по научным исследованиям (COSRIMS), который посвящен проблемам применения к математике понятия «ядра математики», которые состоит из наиболее развитых разделов математики, исследуемым по внутренним для предмета математики причинам. Можно констатировать, в частности, что вне «ядра» находятся все современные математические прикладные науки [8] (такие, как линейное программирование, численные методы, математическая физика, теория игр и теория принятия решений, оптимизация и исследование операций, теория вероятностей и математическая статистика, финансовая и страховая математика, криптография, комбинаторика и др.), имеющие важные связи с другими дисциплинами и первостепенное значение для современных технологий.
Следуя рассматриваемой точке зрения различие между «ядром» и остальной частью математики, т.е. между «чистой» математикой и «прикладной математикой», определяется не только предметом или методами исследования, сколько мотивацией или традициями. Можно признавать прикладную математику той частью математики, которая имеет непосредственное практическое применение, имея в виду следующее.
Во-первых, классические применения математики, охватывающие классические разделы математического анализа [4]:
- Введение в анализ»;
- Теория функций»;
- Теория пределов»;
- Дифференциальное исчисление»;
- Интегральное исчисление»;
- Обыкновенные дифференциальные уравнения» [9];
- Дифференциальные уравнения в частных производных»;
- Интегральные уравнения» и др.
Во-вторых, математику, которая в данный момент имеет важные практические применения, например, в социально-экономической, управленческой и финансовой сфере - «Математическое программирование», «Математическое моделирование» [15], «Регрессионный анализ», «Теория фракталов» [3], «Теория оптимального управления», «Методы оптимизации», «Эконометрика» [14], «Методы исследования операций» [11], «Методы теории риска» [13], «Вычислительная математика» [7] и др.
Расширение круга приложений математики (механика, физика, астрономия – экономика, демография, экология, управление и др.) в последние десятилетия привело к некоторой модификации представлений о понятии «Прикладная математика». В объем этого понятия следует в полной мере включать те разделы математики, которые имеют важные практические применения. Однако определить границы возможных применений математики в других дисциплинах, решить, какие из применений являются наиболее важными на любом этапе развития науки и, вообще, цивилизации представляется, очевидно, невозможным.
Прикладная математика как та часть математики, которую используют в программировании и в численных расчетах. Эта позиция представляется автору чрезмерно узкой и односторонней. Такая интерпретация прикладной математики может быть использована как рабочий термин.
Решение прикладной задачи должно иметь содержательную интерпретацию, быть пригодным для использования в практической деятельности. Отметим, что точность решения прикладной задачи должна соответствовать поставленной задаче. Решения, которые лучше всего выполняют перечисленные выше требования принято называть оптимальными.
Обновление содержания прикладной математической подготовки бакалавра экономики [1, 2, 5] приводит нас к определению специфических для прикладной математики рациональных рассуждений, явившихся соединением дедуктивных рассуждений и рассуждений, способных при разумном их применении приводить к правильным результатам. Такая «прикладная логика» определяет существенное, а может быть, и главное различие между чистой и прикладной математикой.
Логика рациональных рассуждений свидетельствует о том, что с одной стороны прикладная математика не является частью математики; с другой стороны, она не находится полностью вне математики (т.к. дедукция остается одним из важнейших инструментов исследования).
Обращаясь к проблемам обучения прикладной математике в контексте обозначенной выше с точки зрения, нецелесообразно отказаться от других методов исследования проблем и ограничиваться только дедукцией. Это существенно снизило бы возможности будущих специалистов как в применениях математики, так и в деятельности, непосредственно не связанной с математикой, но требующей культуры мышления, вырабатываемой в практике строгих логических и рациональных рассуждений.
Проектируя систему математической подготовки, позволяющую реализовывать прикладную направленности обучения математике [10], следует для каждого типа рациональных рассуждений предвидеть соответствующее место:
- на этапе открытия математических фактов,
- построения математической теории,
- применения математического аппарата к исследованию реальных проблем и ситуаций.
Именно в процессе проведения рациональных рассуждений актуализируется вопросы, касающиеся понимания сущности доказательства, обоснованности применимости выводов, истинности конкретных утверждений – игнорировать эти вопросы в обучении прикладной математике с точки зрения автора недопустимо.