Обзор исследовательских возможностей WolframAlpha в процессе изучения математического анализа

№56-1,

педагогические науки

В центре внимания статьи – обзор исследовательских возможностей базы знаний и набора вычислительных алгоритмов WolframAlpha в процессе изучения математического анализа. Представлены практические рекомендации по использованию WolframAlpha при изучении тем «Производная функции», «Неопределенный интеграл», «Дифференциальные уравнения».

Похожие материалы

Математический анализ традиционно занимает особое место в математической подготовке бакалавра [5, 16, 17], содержание содержания трех системообразующих учебных тем «Производная функции», «Неопределенный интеграл», «Дифференциальные уравнения» является инструментальной основой для исследования разнообразных социально-экономических ситуаций, составляющих новое содержание прикладной математической подготовки бакалавра [14], принятия оптимальных решений в условиях риска и неполноты информации [6].

В рамках данной статьи мы рассмотрим технологии WolframAlpha, которые предоставляют преподавателю новые возможности по организации учебного процесса, к которым следует отнести освобождение от большинства рутинных вычислений и операций, качественную визуализацию рассматриваемой задачи, увеличение количества и качества рассматриваемых в рамках аудиторной нагрузки задач, знакомство с новыми задачами прикладного содержания, обеспечивающее реализацию прикладной профессиональной направленности обучения математическому анализу. Важно, что технологии WolframAlpha поддерживают практическую реализацию современных экономических исследований [7], связанных с количественными методами и математическим моделированием.

Рассмотрим особенности дифференцирования функций в современной базе данных и наборе вычислительных алгоритмов WolframAlpha. С целью нахождения производной заданной нужно использовать следующий запрос derivative of f(x), реализация которого представлена на рис. 1. Вторым вариантом нахождения производной заданной функции является запрос derivative f(x). Под дифференцированием функции принято понимать нахождение производной этой функции. Изучая дифференцирование функций, следует обратить внимание студентов на правила дифференцирования (дифференцирование суммы функций, дифференцирование произведения функций, дифференцирование композиции функций) и формулы дифференцирования (дифференцирование степенных функций, дифференцирование показательных функций, дифференцирование тригонометрических функций и др.) [20].

Пример нахождения производной сложной функции.
Рисунок 1. Пример нахождения производной сложной функции.

Существует также альтернативный вариант дифференцирования функций в WolframAlpha. Он связан с использованием запроса вида d/dx f(x), содержательный смыл которого заключается в задаче дифференцирования заданной функции (рис. 2). Приведем пример использования этого запроса к относительно сложной функции.

В ряде задач математического анализа речь идет не просто о нахождении производной заданной функции, а о вычислении знания производной функции в заданной точке. В большинстве случаев это связано с содержательными прикладными задачами математического анализа и ориентировано на использование физического, геометрического, экономического смысла производной функции [23].

Пример использования альтернативного запроса на нахождение производной функции.
Рисунок 2. Пример использования альтернативного запроса на нахождение производной функции.

Для того, чтобы не только определить производную заданной функции, а вычислить значение производную функции в конкретной точке, следует обратиться к особому запросу (с указанием данной точки, рис. 3).

Пример нахождения значения производной в заданной точке.
Рисунок 3. Пример нахождения значения производной в заданной точке.

В рамках реализации стратегии развития методической системы математической подготовки бакалавров [13] особое внимание уделяется методам обучения [8, 12]: в настоящее время смещается акцент на использование активных методов обучения и использование технологий WolframAlpha открывает новые перспективы совершенствования методов обучения математическому анализу и содержанию обучения [9, 10]. Важной методической задачей повышения качества обучения математическому анализу в высшей школе является интеграция информационных и педагогических технологий [1, 2, 3], включение элементов информационных технологий в систему целеполагания [11].

Второй важной операцией, исследуемой в рамках математического анализа, является операция интегрирования функции. Обратимся к особенностям ее реализации в WolframAlpha. Цели нахождения интегралов от функций в WolframAlpha соответствует специальный запрос integrate (рис. 4). В ряде случаем целесообразно использовать запрос integral и более компактную форму запроса int, хотя в использовании последней формы могут возникнуть ошибки (int часто используется с целью определения целых частей чисел). Обратимся к особенностям практической реализации интегрирования различных функций в WolframAlpha.

Пример нахождения неопределенного интеграла от константы.
Рисунок 4. Пример нахождения неопределенного интеграла от константы.

Рассмотрим далее стандартный интеграл от квадратного трехчлена (рис. 5).

Пример нахождения неопределенного интеграла от многочлена.
Рисунок 5. Пример нахождения неопределенного интеграла от многочлена.

Отметим, что при необходимости получения более подробного, пошагового решения данной задачи по математическому анализу, можно прибегнуть к команде «Show steps» (рис. 6). Следующий пример, иллюстрирующий возможности WolframAlpha при интегрировании рациональных дробей может вызвать затруднения у большинства студентов, являясь относительно сложным заданием.

Пример интегрирования рациональных дробей.
Рисунок 6. Пример интегрирования рациональных дробей.

Обратимся далее к нахождению неопределенных интегралов от тригонометрических функций (рис. 7).

Пример интегрирования тригонометрических функций.
Рисунок 7. Пример интегрирования тригонометрических функций.

Охарактеризуем реализацию различных методов интегрирования в WolframAlphа, среди которых интегрирование по частям, интегрирование подстановкой (заменой) – рис. 8, интегрирование путем внесения выражения под знак дифференциала, рис. 9.

Пример реализации метода интегрирования по частям в случае неопределенного интеграла
Рисунок 8. Пример реализации метода интегрирования по частям в случае неопределенного интеграла
Пример реализации метода интегрирования подстановкой в случае неопределенного интеграла
Рисунок 9. Пример реализации метода интегрирования подстановкой в случае неопределенного интеграла

Более сложными, многокомпонентными задачами математического анализа являются дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений [25]. Цели решения дифференциальных уравнений различных типов с возможностью демонстрации пошаговых результатов служит функция «Show steps». Отметим, что WolframAlphа поддерживает решение дифференциальных уравнений различных типов и различного уровня сложности (дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными; уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными; однородные уравнения; уравнения, приводящиеся к однородным; линейные дифференциальные уравнения; уравнения Бернулли; уравнения Риккати; уравнения Якоби; уравнения в полных дифференциалах и др.) [24].

Процедура решения дифференциального уравнения в WolframAlphа начинается с его ввода в диалоговую строку базы знаний и набора вычислительных алгоритмов. Следует отметить, что в процессе ввода для обозначения символа производной функции используется знак апострофа " ' ". Использование с этой целью кавычки автоматически приводит к ошибке ввода. Для конкретизации задачи решения дифференциального уравнения целесообразно использовать перед самим уравнением специальное поисковое предписание solve. База знаний и набор вычислительных алгоритмов WolframAlphа поддерживает решение разнообразных дифференциальных уравнений (рис. 10), представленных в [28], занимающих значимое место в современной классификации математических моделей [27].

Рис. 10. Пример решения дифференциального уравнения в WolframAlphа.

К настоящему времени накоплен достаточно обширный опыт в использовании WolframAlphа в системе математической подготовки [13, 15, 19]. Особый интерес представляет использование WolframAlphа в исследовании специальных задач, например, задач с параметрами [21]. Приведенные в данной статье рекомендации по использованию WolframAlphа при решении задач математического анализа позволяют акцентировать внимание в процессе обучения на развитие инновационных компонентов профессиональной компетентности выпускника [4], связанных с информационной культурой. Рассмотренные выше и другие методические особенности учебного модуля «Дифференциальные уравнения» [26] использованы в учебном процессе на факультете дистанционного обучения Российского экономического университета им. Г.В. Плеханова

Список литературы

  1. Власов Д. А. Возможности профессиональных математических пакетов в системе прикладной математической подготовки будущих специалистов // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Информатизация образования. — 2009. — № 4. — С. 52-59.
  2. Власов Д. А. Интеграция информационных и педагогических технологий в системе прикладной математической подготовки будущего специалиста // Сибирский педагогический журнал. — 2009. — № 2. — С. 109-117.
  3. Власов Д. А. Информационные технологии в системе математической подготовки бакалавров: опыт МГГУ им. М. А. Шолохова // Информатика и образование. — 2012. — № 3. — С. 93-94.
  4. Власов Д. А. Компетентностный подход к проектированию педагогических объектов // Вестник Федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Московский государственный агроинженерный университет им. В.П. Горячкина. — 2008. — № 6-2. — С. 124-127.
  5. Власов Д. А. Концепция прикладной математической подготовки будущего учителя информатики // Информатика и образование. — 2009. — № 8. — С. 123-124.
  6. Власов Д. А. Методологические аспекты принятия решений // Молодой ученый. — 2016. — №4. — С. 760-763.
  7. Власов Д. А. Методологические аспекты реализации технологии WolframAlpha в современных экономических исследованиях // Инновационная наука. — 2016. — № 10-1. — С. 19-21.
  8. Власов Д. А. Методы обучения как компонент методической системы прикладной математической подготовки // Ярославский педагогический вестник. — 2009. — № 4. — С. 125-129.
  9. Власов Д. А. Проблемы проектирования содержания прикладной математической подготовки будущего специалиста // Сибирский педагогический журнал. — 2009. — № 8. — С. 33-42.
  10. Власов Д. А. Проблемы проектирования содержания прикладной математической подготовки будущего специалиста // Российский научный журнал. — 2009. — № 12. — С. 9-16.
  11. Власов Д. А. Целеполагание в системе математической подготовки бакалавра // Социосфера. — 2014. — № 2. — С. 165-169.
  12. Власов Д. А., Леньшин А. И. Методы обучения как компонент методической системы прикладной математической подготовки в системе среднего и высшего образования // Сибирский педагогический журнал. — 2009. — № 11. — С. 71-78.
  13. Власов Д. А., Синчуков А. В. Использование WolframAlpha при обучении решению задач с параметрами // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Информатизация образования. — 2014. — № 1. — С. 64-72.
  14. Власов Д. А., Синчуков А. В. Новое содержание прикладной математической подготовки бакалавра // Преподаватель XXI век. — 2013. — Т. 1. — № 1. — С. 71-79.
  15. Власов Д. А., Синчуков А. В. Новые технологии WolframAlpha при изучении количественных методов студентами бакалавриата // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Информатизация образования. — 2013. — № 4. — С. 43-53.
  16. Власов Д. А., Синчуков А. В. Прикладная математическая подготовка бакалавра менеджмента // Образование и воспитание. — 2016. — № 4 (9). — С. 57-60.
  17. Власов Д. А., Синчуков А. В. Принципы проектирования прикладной математической подготовки бакалавра экономики // Образование и воспитание. — 2016. — № 3 (8). — С. 37-40.
  18. Власов Д. А., Синчуков А. В. Стратегия развития методической системы математической подготовки бакалавров // Наука и школа. — 2012.— № 5. — С. 61-65.
  19. Власов Д. А., Синчуков А. В. Технологии WolframAlpha в системе подготовки бакалавра экономики (на примере задачи о вероятности попадания случайной величины в заданный интервал) // Молодой ученый. — 2015. — №11. — С. 1298-1301.
  20. Демидович Б. П. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. — М.: АСТ, 2010. — 495 с.
  21. Качалова Г. А., Власов Д. А. Проблемы подготовки будущего учителя математики к реализации содержательно-методической линии «Задачи с параметрами» // Российский научный журнал. — 2011.— № 21. — С. 86-91.
  22. Качалова Г. А., Власов Д. А. Технологии Wolframalpha при изучении элементов прикладной математики студентами бакалавриата // Молодой ученый. — 2013. — №6. — С. 683-691.
  23. Позняк Э. Г., Ильин В. А. Основы математического анализа. — М.: Физматлит, 2014. — 648 с.
  24. Садовничий В. А., Сендов Б. Х., Ильин В. А. Математический анализ. Учебник для бакалавров. — М.: Юрайт, 2016. — 660 с.
  25. Синчуков А. В. Исследование устойчивости решений системы двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка с периодическими коэффициентами // Ярославский педагогический вестник. — 2011. — Т. 3. — № 4. — С. 55-58.
  26. Синчуков А. В. Методические особенности учебного модуля «Дифференциальные уравнения» в системе математической подготовки бакалавра экономики // Инновационная наука. — 2016. — № 8-2. — С. 181-182.
  27. Синчуков А. В. Современная классификация математических моделей // Инновационная наука. — 2016. — № 3-1. — С. 214-215.
  28. Солодовников А. С., Бабайцев В. А., Браилов А. В. Математика в экономике. Часть 2. Математический анализ. — М.: Инфа-М, 2011. — 560 с.