Математический анализ традиционно занимает особое место в математической подготовке бакалавра [5, 16, 17], содержание содержания трех системообразующих учебных тем «Производная функции», «Неопределенный интеграл», «Дифференциальные уравнения» является инструментальной основой для исследования разнообразных социально-экономических ситуаций, составляющих новое содержание прикладной математической подготовки бакалавра [14], принятия оптимальных решений в условиях риска и неполноты информации [6].
В рамках данной статьи мы рассмотрим технологии WolframAlpha, которые предоставляют преподавателю новые возможности по организации учебного процесса, к которым следует отнести освобождение от большинства рутинных вычислений и операций, качественную визуализацию рассматриваемой задачи, увеличение количества и качества рассматриваемых в рамках аудиторной нагрузки задач, знакомство с новыми задачами прикладного содержания, обеспечивающее реализацию прикладной профессиональной направленности обучения математическому анализу. Важно, что технологии WolframAlpha поддерживают практическую реализацию современных экономических исследований [7], связанных с количественными методами и математическим моделированием.
Рассмотрим особенности дифференцирования функций в современной базе данных и наборе вычислительных алгоритмов WolframAlpha. С целью нахождения производной заданной нужно использовать следующий запрос derivative of f(x), реализация которого представлена на рис. 1. Вторым вариантом нахождения производной заданной функции является запрос derivative f(x). Под дифференцированием функции принято понимать нахождение производной этой функции. Изучая дифференцирование функций, следует обратить внимание студентов на правила дифференцирования (дифференцирование суммы функций, дифференцирование произведения функций, дифференцирование композиции функций) и формулы дифференцирования (дифференцирование степенных функций, дифференцирование показательных функций, дифференцирование тригонометрических функций и др.) [20].
Существует также альтернативный вариант дифференцирования функций в WolframAlpha. Он связан с использованием запроса вида d/dx f(x), содержательный смыл которого заключается в задаче дифференцирования заданной функции (рис. 2). Приведем пример использования этого запроса к относительно сложной функции.
В ряде задач математического анализа речь идет не просто о нахождении производной заданной функции, а о вычислении знания производной функции в заданной точке. В большинстве случаев это связано с содержательными прикладными задачами математического анализа и ориентировано на использование физического, геометрического, экономического смысла производной функции [23].
Для того, чтобы не только определить производную заданной функции, а вычислить значение производную функции в конкретной точке, следует обратиться к особому запросу (с указанием данной точки, рис. 3).
В рамках реализации стратегии развития методической системы математической подготовки бакалавров [13] особое внимание уделяется методам обучения [8, 12]: в настоящее время смещается акцент на использование активных методов обучения и использование технологий WolframAlpha открывает новые перспективы совершенствования методов обучения математическому анализу и содержанию обучения [9, 10]. Важной методической задачей повышения качества обучения математическому анализу в высшей школе является интеграция информационных и педагогических технологий [1, 2, 3], включение элементов информационных технологий в систему целеполагания [11].
Второй важной операцией, исследуемой в рамках математического анализа, является операция интегрирования функции. Обратимся к особенностям ее реализации в WolframAlpha. Цели нахождения интегралов от функций в WolframAlpha соответствует специальный запрос integrate (рис. 4). В ряде случаем целесообразно использовать запрос integral и более компактную форму запроса int, хотя в использовании последней формы могут возникнуть ошибки (int часто используется с целью определения целых частей чисел). Обратимся к особенностям практической реализации интегрирования различных функций в WolframAlpha.
Рассмотрим далее стандартный интеграл от квадратного трехчлена (рис. 5).
Отметим, что при необходимости получения более подробного, пошагового решения данной задачи по математическому анализу, можно прибегнуть к команде «Show steps» (рис. 6). Следующий пример, иллюстрирующий возможности WolframAlpha при интегрировании рациональных дробей может вызвать затруднения у большинства студентов, являясь относительно сложным заданием.
Обратимся далее к нахождению неопределенных интегралов от тригонометрических функций (рис. 7).
Охарактеризуем реализацию различных методов интегрирования в WolframAlphа, среди которых интегрирование по частям, интегрирование подстановкой (заменой) – рис. 8, интегрирование путем внесения выражения под знак дифференциала, рис. 9.
Более сложными, многокомпонентными задачами математического анализа являются дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений [25]. Цели решения дифференциальных уравнений различных типов с возможностью демонстрации пошаговых результатов служит функция «Show steps». Отметим, что WolframAlphа поддерживает решение дифференциальных уравнений различных типов и различного уровня сложности (дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными; уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными; однородные уравнения; уравнения, приводящиеся к однородным; линейные дифференциальные уравнения; уравнения Бернулли; уравнения Риккати; уравнения Якоби; уравнения в полных дифференциалах и др.) [24].
Процедура решения дифференциального уравнения в WolframAlphа начинается с его ввода в диалоговую строку базы знаний и набора вычислительных алгоритмов. Следует отметить, что в процессе ввода для обозначения символа производной функции используется знак апострофа " ' ". Использование с этой целью кавычки автоматически приводит к ошибке ввода. Для конкретизации задачи решения дифференциального уравнения целесообразно использовать перед самим уравнением специальное поисковое предписание solve. База знаний и набор вычислительных алгоритмов WolframAlphа поддерживает решение разнообразных дифференциальных уравнений (рис. 10), представленных в [28], занимающих значимое место в современной классификации математических моделей [27].
Рис. 10. Пример решения дифференциального уравнения в WolframAlphа.
К настоящему времени накоплен достаточно обширный опыт в использовании WolframAlphа в системе математической подготовки [13, 15, 19]. Особый интерес представляет использование WolframAlphа в исследовании специальных задач, например, задач с параметрами [21]. Приведенные в данной статье рекомендации по использованию WolframAlphа при решении задач математического анализа позволяют акцентировать внимание в процессе обучения на развитие инновационных компонентов профессиональной компетентности выпускника [4], связанных с информационной культурой. Рассмотренные выше и другие методические особенности учебного модуля «Дифференциальные уравнения» [26] использованы в учебном процессе на факультете дистанционного обучения Российского экономического университета им. Г.В. Плеханова