Модульный подход к преподаванию учебных дисциплин, связанный с прикладной математической подготовкой студентов бакалавриата [21, 23, 24] и реализуемый нами на факультете дистанционного обучения Российского экономического университета им. Г. В. Плеханова связан с выделением и последующим развертыванием в учебном процессе содержанием специально созданных дидактических модулей. Система обще-дидактических и частно-методических требований к дидактическим модулям представлена в работах [1, 11].
Структурирование содержания обучения по ключевым и профессионально-значимым компетенциям, заданным в обновленном государственном образовательном стандарте, позволяет задать учебный процесс на языке учебно-познавательной и научно-исследовательской деятельности студента бакалавриата, способствует технологическому целеполаганию и развитию методической системы математической подготовки бакалавров [25], преодолению неопределенностей в организации и оценке результатов освоения дисциплин, традиционно относящихся к образовательной области «Прикладная математика (Математические модели и методы)». Эта образовательная область имеет существенное значение в системе подготовки бакалавров менеджмента и бакалавров экономики, имеет существенные возможности по развитию экономического мышления и финансовой грамотности [3], характеризуется высокой интерактивностью в контексте новых информационных технологий [4, 5, 6].
Отметим, что учебная дисциплина «Исследование операций: базовый уровень» предназначена для студентов прикладного бакалавриата. Перейдем далее к рассмотрению структуры и содержания дидактических модулей, предоставляющих преподавателю новые возможности по развитию профессиональной компетентности выпускника прикладного бакалавриата.
Дидактический модуль 1. «Введение. Методология основы исследования операций».
Модели исследования операций, методы их построения и анализа. Макроэкономические модели и микроэкономические модели. Теоретические и прикладные модели исследования операций. Статистические и динамические модели исследования операций. Равновесные и оптимизационные модели исследования операций. Стохастические и детерминированные модели исследования операций. Философский, культурно-исторический и прикладные аспекты исследования операций.
Сложность и многоаспектность проблем и ситуаций, возникающих в современной экономике (задача определения оптимального плана производства, задача о конкурентном взаимодействии двух интернет-магазинов [15], задача выбора оптимальной инвестиционной стратегии [16], задача о конкурентной борьбе за рынки сбыта продукции [18], задача о формировании потребительской корзины с минимальной стоимостью, задача минимизации риска [20], задача оценки предельной склонности к потреблению [29], задача об организации оптимальной рекламной деятельности, задача определения множества состояний равновесия [7], задача оценки стоимости бизнеса [14], задача о составлении оптимального расписания, задача о минимизации суммарных издержек при транспортировке груза и т.д.), стимулирует развитие методов и моделей экономической кибернетики [13]. Анализ современных работ по методам и моделям исследования операций в экономике [8, 17, 30] позволяет представить обобщенную последовательность этапов операционного исследования (рис. 1).
Дидактический модуль 2. «Декомпозиционные методы математического программирования в исследовании экономических проблем и ситуаций».
Задача об оптимальном планировании производства (оптимальном использовании имеющихся ресурсов и производственных мощностей). Классическая задача линейного программирования (ЗЛП) с ограничениями в виде линейных неравенств. Каноническая форма записи ЗЛП. Приемы приведения произвольной задачи линейного программирования к канонической форме записи.
Первая геометрическая интерпретация ЗЛП. Вторая геометрическая интерпретация ЗЛП. Графический метод решения ЗЛП. Понятие об области допустимых решений. Различные виды областей допустимых решений. Понятие об допустимом решении ЗЛП. Понятие об допустимом базисном решении ЗЛП.
При рассмотрении данного учебного модуля с целью улучшения её восприятия студентами бакалавриата следует придерживаться дидактической логики, представленной на рис. 2.
В процессе изучения второго дидактического модуля полезно отметить, что раздел исследования операций «Линейное программирование» послужило основой для последующей разработки и совершенствования других различных математических методов исследования операций, среди которых нелинейное, целочисленное и стохастическое программирование. Следует также отметить широкую востребованность методов линейного программирования в решении широкого круга задач, возникающих в финансовой сфере [10, 27], сфере менеджмента и маркетинга [19].
В процессе постановки практических занятий по учебной дисциплине «Исследование операций» следует рассмотреть различные примеры ЗЛП, которые будут убедительно демонстрировать, что ЗЛП имеет три варианта постановки, представленных на рис. 3.
Следует отметить, что каждая отдельно взятая постановка ЗЛП ассоциируется с определенными социально-экономическими проблемами и ситуациями. Однако с целью построения общего метода решения ЗЛП самые разные формы постановки задачи должны быть преобразованы к стандартной форме (в частности, к канонической).
Дидактический модуль 3. «Симплекс метод как итерационная процедура последовательного улучшения допустимого базисного решения».
Симплекс-метод как наиболее действенный метод решения задач линейного программирования. Метод искусственного базиса. Алгоритм работы с симплексными таблицами. Критерий оптимальности при работе с симплексным методом.
Дидактический модуль 4. «Метод обратной матрицы».
Метод обратной матрицы как непосредственная модификация симплекс – метода. Алгоритм метода обратной матрицы. Критерий оптимальности.
Дидактический модуль 5. «Теория двойственности в линейном программировании и ее приложения».
Элементы теории двойственности в линейном программировании. Алгоритм составления задачи линейного программирования, двойственной к исходной. Первая и вторая теоремы двойственности. Задача, двойственная к задаче оптимального планирования. Двойственный симплекс-метод как интеграция симплекс-метода и теории двойственности. Алгоритм двойственного симплекс – метода. Критерий оптимальности.
В рамках изучения данного учебного модуля следует акцентировать внимание на следующих направлениях учебно-познавательной деятельности студентов, представленных на рис. 4.
В данном учебном модуле рассматривается такое центральное понятие в области линейного программирования как понятие двойственности (исходная задача линейного программирования – двойственная задача линейного программирования). Под двойственной задачей линейного программирования пониманию специально построенную вспомогательную задачу. Она строится с помощью специальных правил в зависимости от условий исходной (прямой) задачи линейного программирования. Рассматривая теорию двойственности, необходимо акцентировать внимание студентов на содержательный экономический смысл двойственной ЗЛП, сопроводить изложение программного материала основными положениями теории двойственности. В контексте усиления прикладной направленности обучения особую значимость приобретает концептуальная схема анализа решения ЗЛП с помощью элементов теории двойственности, описание анализа решения ЗЛП в современной базе знаний и наборе вычислительных алгоритмов WolframAlpha [9, 12, 22].
Возможности визуализации WolframAlpha представлены на рис. 5.
Полезно также обратиться внимание студентов на особые случаи при работе с графическим методом решения ЗЛП, представленые на рис. 6.
Учебная дисциплина «Исследование операций: базовый уровень» играет важную роль в развитии современной профессиональной компетентности выпускника. Реализация идей модульного подхода, рассмотренных в данной статье способствует как целесообразному применению информационных технологий WolframAlpha в учебном процессе, в том числе при исследовании стохастических задач [26], так и созданию общедоступных интерактивных образовательных ресурсов, передовой опыт использования которых представлен в статьях [2, 28].