Инфинитезимальные преобразования продолженной почти контактной структуры с метрикой Cасаки

Букушева, Алия Владимировна

Инфинитезимальные преобразования продолженной почти контактной структуры с метрикой Cасаки

№58-1, 06.01.2017

физико-математические науки

Букушева Алия Владимировна, кандидат наук, доцент
Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского

ПОЧТИ КОНТАКТНАЯ МЕТРИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА
ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ВНУТРЕННЯЯ СВЯЗНОСТЬ
АССОЦИИРОВАННАЯ СВЯЗНОСТЬ
МЕТРИКА САСАКИ

На распределении D многообразия M с почти контактной метрической структурой (M, ξ , η, φ, g, D) с помощью ассоциированной связности определяется почти контактная метрическая структура, называемая продолженной почти контактной метрической структурой с метрикой Сасаки. Изучаются инфинитезимальные преобразования полученной структуры. Найдены условия, при которых векторное поле, заданное на распределении почти контактной метрической структуры, сохраняет продолженную структуру.

Похожие материалы

Изучение продолженных почти контактных метрических структур начинается с работ [4-17, 19-30, 33-35]. Продолженные почти контактные метрические структуры естественным образом возникают на распределениях $D\subset TM$ почти контактных метрических многообразий. Геометрия распределений имеет аналогии с геометрией касательных расслоений, изучение которой начинается с основополагающей работы Сасаки [52], опубликованной в 1958 году. Сасаки, используя риманову метрику $g$ , заданную на гладком многообразии M, определяет риманову метрику $g^s$ на касательном расслоении TM многообразия M. Конструкция Сасаки основана на естественном расщеплении (имеющему место благодаря существованием на римановом многообразии связности Леви-Чивита) касательного расслоения TTM многообразия TM в прямую сумму вертикального и горизонтального распределений, слои которых изоморфны слоям расслоения TM. Нечетным аналогом касательного расслоения является распределение D почти контактной метрической структуры $(M, \vec{\xi}, \eta, \varphi, g, D)$ . Также, как и расслоение TTM, касательное расслоение TD, благодаря заданию связности над распределением [15] (а затем, и N-продолженной связности - связности в векторном расслоении $(M,\pi,D)$ , расщепляется в прямую сумму вертикального и горизонтального распределений. Как показано в [14-17], на многообразии D, тем самым, естественным образом определяется почти контактная метрическая структура, позволяющая, например, придать инвариантный характер аналитическому описанию механики со связями. В работе [15] на многообразии D определяется геодезическая пульверизация связности над распределением, являющаяся аналогом геодезической пульверизации, заданной на пространстве касательного расслоения TM и имеющая ясную физическую интерпретацию: проекции интегральных кривых геодезической пульверизации связности над распределением совпадают с допустимыми геодезическими (траекториями движения механической системы со связями).

Предлагаемая работа посвящена продолжению идей, получивших свое развитие в геометрии касательных расслоений, на случай многообразий нечетной размерности – распределений пространств с почти контактной метрической структурой. В работе изучаются инфинитезимальные преобразования продолженной почти контактной структуры. В предлагаемой работе продолжаются исследования, опубликованные в статьях [1-3, 31]. Изучение инфинитезимальных преобразований касательных расслоений осуществлялось в работах [36-57].

Внутренняя и N-продолженная связности

Пусть M – гладкое многообразие нечетной размерности $n=2m+1$ , $\Gamma(TM)$ - модуль гладких векторных полей на M. Все многообразия, тензорные поля и другие геометрические объекты предполагаются гладкими класса $C^{\infty}$ . Предположим, что на M задана почти контактная метрическая структура $(M, \vec{\xi}, \eta, \varphi, g, D)$ , где $\varphi$ - тензор типа (1,1), называемый структурным эндоморфизмом или допустимой почти комплексной структурой, $\vec{\xi}$ и $\eta$ - вектор и ковектор, называемые, соответственно, структурным вектором и контактной формой, $g$ – (псевдо) риманова метрика. При этом выполняются следующие условия:

$\varphi^2=-I+\eta\otimes \vec{\xi}$ ,
$\eta(\vec{\xi})=1$ ,
$g(\varphi \vec{x},\varphi \vec{y})=g(\vec{x},\vec{y})-\eta(\vec{x})\eta(\vec{y})$ ,
$d\eta(\vec{\xi},\vec{x})=0$ , где $\vec{x}, \vec{y}\in \Gamma(TM)$ .

Гладкое распределение $D=\ker \eta$ называется распределением почти контактной метрической структуры.

В качестве следствия условий 1) – 4) получаем:

$\varphi(\vec{\xi})=\vec{0}$ , 6) $\eta \circ \varphi=0$ , 7) $\eta(\vec{x})=g(\vec{x},\vec{\xi})$ , $\vec{x}\in \Gamma(TM)$ .

Если $rk \omega=2m$ , где $\omega=d\eta$ , вектор $\vec{\xi}$ однозначно определяется из условий $\eta(\vec{\xi})=1$ , $ker \omega=Span (\vec{\xi})$ .

Кососимметрический тензор $\Omega(\vec{x},\vec{y})=g(\vec{x},\varphi \vec{y})$ называется фундаментальной формой структуры. Почти контактная метрическая структура называется контактной метрической структурой, если выполняется равенство $\Omega=d\eta$ . Гладкое распределение $D^{\bot}=Span(\vec{\xi})$ , ортогональное распределению D, называется оснащением распределения D. Имеет место разложение $TM=D\oplus D^{\bot}$ .

Особое внимание в предлагаемой работе уделяется следующим двум классам почти контактных метрических пространств:

Пространство (многообразие) Сасаки: $\Omega=d\eta$ , $N_\varphi +2d\eta\otimes \vec{\xi}=0$ , где $N_\varphi (\vec{x},\vec{y})=[\varphi \vec{x},\varphi\vec{y}]+\varphi^2 [\vec{x},\vec{y}]-\varphi[\varphi\vec{x},\vec{y}]-\varphi[\vec{x},\varphi\vec{y}]$ - тензор Нейенхейса эндоморфизма $\varphi$ . Выполнение условия $N_\varphi +2d\eta\otimes \vec{\xi}=0$ означает, что пространство Сасаки является нормальным пространством;
Почти контактное кэлерово пространство: $d\Omega=0$ , $N_\varphi +2(d\eta\circ \varphi)\otimes \vec{\xi}=0$ . Почти контактные кэлеровы пространства введены в работе [18]. Будем называть почти контактное метрическое пространство почти нормальным, если выполнено условие $N_\varphi +2(d\eta\circ \varphi)\otimes \vec{\xi}=0$ . Таким образом, почти контактное кэлерово пространство, это почти нормальное почти контактное метрическое пространство с замкнутой фундаментальной формой.

Карту $K(x^{\alpha})$ $(A,B,C,=1,...,2n-1;\alpha,\beta,\gamma=1,...,n;a,b,c=1,...,n-1)$ многообразия M будем называть адаптированной к распределению D, если $\partial_{n}=\vec{\xi}$ [17]. Пусть $P:TM\rightarrow D$ - проектор, определяемый разложением $TM=D\oplus D^{\bot}$ , и $K(x^{\alpha})$ - адаптированная карта. Векторные поля $P(\partial_{a})=\vec{e}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}$ линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают распределение D: $D=Span(\vec{e}_{a})$ . Таким образом, мы имеем на многообразии M неголономное поле базисов $(\vec{e}_\alpha)=(\vec{e}_{a},\partial_{n})$ и соответствующее ему поле кобазисов $(dx^a,\eta=\Theta^{n}=dx^{n}+\Gamma^{n}_{a}dx^{a})$ . Непосредственно проверяется, что $[\vec{e}_{a},\vec{e}_{b}]=2\omega_{ba}\partial_{n}$ . Адаптированным будем называть также базис $\vec{e}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}$ , как базис, определяемый адаптированной картой. Имеет место равенство $\partial_{n}\Gamma^{n}_{a}=0$ .

Пусть $K(x^{\alpha})$ и $K'(x^{\alpha'})$ - адаптированные карты, тогда получаем следующие формулы преобразования координат: $x^a=x^a(x^{a'})$ , $x^n=x^{n'}+x^n(x^{a'})$ .

Тензорное поле $t$ типа $(p,q)$ , заданное на почти контактном метрическом многообразии, назовем допустимым (к распределению D), если $t$ обращается в нуль каждый раз, когда среди его аргументов встречаются $\vec{\xi}$ или $\eta$ . Координатное представление допустимого тензорного поля в адаптированной карте имеет вид:

$t=t^{a_1 ...a_p}_{b_1 ... b_q}\vec{e}_{a_1}\otimes ... \otimes \vec{e}_{a_p} \otimes dx^{b_1}\otimes...\otimes dx^{b_q}$ .

Преобразование компонент допустимого тензорного поля в адаптированных координатах подчиняется следующему закону: $t^a_b =A^a_{a'}A^{b'}_b t^{a'}_{b'}$ , где $A^{a'}_a=\frac{\partial x^{a'}}{\partial x^a}$ .

Из формул преобразования компонент допустимого тензорного поля следует, что производные $\partial_n t^a_b$ компонент допустимого тензорного поля являются компонентами допустимого тензорного поля того же типа. Заметим, что обращение в нуль производных $\partial_n t^a_b$ не зависит от выбора адаптированных координат.

Введем в рассмотрение допустимые тензорные поля, определяемые равенствами $h\vec{x}=\frac{1}{2}(L_{\vec{\xi}}\varphi)(\vec{x})$ ,

$C(\vec{x},\vec{y})=\frac{1}{2}(L_{\vec{\xi}}g)(\vec{x},\vec{y})$ ,

$g(C\vec{x},\vec{y})=C(\vec{x},\vec{y})$ , $\vec{x},\vec{y} \in \Gamma (TM)$ .

В адаптированных координатах получаем:

$h^a_b=\frac{1}{2}\partial_n \varphi^a_b$ ,

$C_{ab}=\frac{1}{2}\partial_n g_{ab}$ , $C^a_b=g^{da}C_{db}$ , $\psi^c_a=g^{bc}\omega_{ab}$ .

Будем использовать следующие обозначения для связности и коэффициентов связности Леви-Чивита тензора $g:$ $\widetilde{\nabla}$ , $\widetilde{\Gamma}^\alpha_{\beta \gamma}$ . В результате непосредственных вычислений убеждаемся в справедливости следующей теоремы.

Теорема 1. Коэффициенты связности Леви-Чивита почти контактного метрического пространства в адаптированных координатах имеют вид:

$\widetilde{\Gamma}^c_{ab}=\Gamma^c_{ab}$ ,

$\widetilde{\Gamma}^n_{ab}=\omega_{ba}-C_{ab}$ ,

$\widetilde{\Gamma}^b_{an}=\widetilde{\Gamma}^b_{na}=C^b_a-\psi^b_a$ ,

$\widetilde{\Gamma}^n_{na}=\widetilde{\Gamma}^a_{nn}=0$ ,

где $\Gamma^a_{bc}=\frac{1}{2}g^{ad}(\vec{e}_b g_{cd}+\vec{e}_c g_{bd}-\vec{e}_{bc})$ .

Назовем допустимую тензорную структуру, сохраняющую постоянными компоненты в некотором адаптированном базисе, интегрируемой допустимой тензорной структурой.

Теорема 2 [17]. Допустимая почти комплексная структура $\phi$ интегрируема тогда и только тогда, когда почти контактная метрическая структура почти нормальна.

Внутренней линейной связностью $\nabla$ [17] на многообразии с почти контактной структурой называется отображение $\nabla:\Gamma (D) \times \Gamma (D) \rightarrow \Gamma (D)$ , удовлетворяющее следующим условиям:

$\nabla_{f_1\vec{x}+f_2\vec{y}}=f_1\nabla_{\vec{x}}+f_2\nabla_{\vec{y}};$
$\nabla_{\vec{x}}f\vec{y}=(\vec{x}f)\vec{y}+f\nabla_{\vec{x}}\vec{y}$ ,
$\nabla_{\vec{x}}(\vec{y}+\vec{z})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}+\nabla_{\vec{x}}\vec{z}$ ,

где $\Gamma(D)$ - модуль допустимых векторных полей.

Внутренняя связность определяет дифференцирования допустимых тензорных полей. Так, например, для допустимой почти комплексной структуры выполняется равенство $(\nabla_{\vec{x}} \varphi)\vec{y}=\nabla_{\vec{x}}(\varphi \vec{y})- \varphi (\nabla_{\vec{x}}\vec{y})$ , $\vec{x},\vec{y}\in \Gamma(D)$ .

Коэффициенты внутренней линейной связности определяются из соотношения $\nabla_{\vec{e}_{a}}\vec{e}_{b}=\Gamma^{c}_{ab}\vec{e}_{c}$ . Из равенства $\vec{e}_{a}=A^{a'}_a\vec{e}_{a'}$ , где $A^{a'}_a=\frac{\partial x^{a'}}{\partial x^a}$ , обычным образом следует формула преобразования для коэффициентов внутренней связности:

$\Gamma^c_{ab}=A^{a'}_a A^{b'}_b A^c_{c'}\Gamma^{c'}_{a'b'}+A^c_{c'}\vec{e}_{a}A^{c'}_b$ .

Кручением внутренней связности назовем допустимое тензорное поле $S(\vec{x},\vec{y})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}-\nabla_{\vec{y}}\vec{x}-P[\vec{x},\vec{y}]$ , $\vec{x},\vec{y}\in \Gamma(D)$ .

Внутреннюю связность будем называть симметричной, если ее кручение равно нулю. В случае симметричности внутренней связности в адаптированных координатах получаем: $S^{c}_{ab}=\Gamma^{c}_{ab}-\Gamma^{c}_{ba}$ , или, $\Gamma^{c}_{ab}=\Gamma^{c}_{ba}$ .

Допустимое тензорное поле, определяемое равенством

$R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=\nabla_{\vec{x}}\nabla_{\vec{y}}\vec{z}-\nabla_{\vec{y}}\nabla_{\vec{x}}\vec{z}-\nabla_{P[\vec{x},\vec{y}]}\vec{z}-P[Q[\vec{x},\vec{y}],\vec{z}]$ ,

где $Q=I-P$ , названо Вагнером тензором кривизны Схоутена. Тензор Схоутена будем называть тензором кривизны внутренней связности. Координатное представление тензора Схоутена в адаптированных координатах имеет вид: $R^d_{abc}=2\vec{e}_{[a}\Gamma^d_{b]c}+2\Gamma^d_{[a||e||}\Gamma^e_{b]c}$ .

Тензор кривизны внутренней связности возникает в результате альтернирования вторых ковариантных производных:

$2\nabla_{[a}\nabla_{b]}v^c=R^c_{abe}v^e+4\omega_{ba}\partial_n v^c$ .

Назовем тензор кривизны внутренней связности тензором кривизны распределения D, а распределение D, в случае обращения в нуль тензора Схоутена, - распределением нулевой кривизны.

Аналогом связности Леви-Чивита является внутренняя симметричная связность $\nabla$ такая, что $\nabla g=0$ , где $g$ - допустимое тензорное поле, определяемое метрическим тензором исходной почти контактной метрической структуры. Назовем связность $\nabla$ внутренней метрической связностью. Известно, что внутренняя симметричная метрическая связность существует и определена единственным образом. Ее коэффициенты задаются равенствами $\Gamma^a_{bc}=\frac{1}{2}g^{ad}(\vec{e}_b g_{cd}+\vec{e}_c g_{bd}-\vec{e}_{bc})$ .

В работах [17-18] развита техника, позволяющая перейти от внутренней связности $\nabla$ , осуществляющей параллельный перенос допустимых векторов вдоль допустимых кривых многообразия M.

Ассоциированную с внутренней связностью $\nabla$ связность $\nabla^A$ определим как единственную связность на многообразии M, удовлетворяющую следующим условиям:

$\nabla^{A}_{\vec{x}}\vec{y}\in \Gamma(D)$ (1)
$\nabla^{A}_{\vec{x}}\vec{\xi}=\vec{0}$ (2)
$\nabla^{A}_{\vec{x}}\vec{y}=[\vec{\xi},\vec{y}]$ (3)
$\nabla^{A}_{\vec{y}}\vec{z}=\nabla_{\vec{y}}\vec{z}$ (4)
$\vec{x}\in \Gamma(TM), \vec{y},\vec{z}\in \Gamma(D)$ .

Корректность определения ассоциированной связности подтверждается следующей теоремой.

Теорема 3. На почти контактном многообразии M с заданной на нем внутренней связностью $\nabla$ , существует и притом единственная связность $\nabla^{A}_{\vec{x}}$ , удовлетворяющая условиям (1-4).

Доказательство.

Единственность. Предположим, что связность $\nabla^{A}_{\vec{x}}$ , удовлетворяющая условиям (1-4), существует. Введем следующее обозначение для ее коэффициентов: $\Gamma^{A \alpha}_{\beta \gamma}$ . Из выполнения условий (1-4) следует, что в адаптированных координатах отличными от нуля коэффициентами: $\Gamma^{A \alpha}_{\beta \gamma}$ являются лишь коэффициенты $\Gamma^{A a}_{bc}=\Gamma^{c}_{ab}$ .
Существование. Определяя в адаптированных координатах отличные от нуля коэффициенты $\Gamma^{A \alpha}_{\beta \gamma}$ с помощью равенства $\Gamma^{A a}_{bc}=\Gamma^{c}_{ab}$ , получаем искомую связность. Теорема доказана.

Тензор кривизны $K$ ассоциированной связности связан с тензором кривизны Схоутена с помощью следующего равенства:

$K(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}+\eta(\vec{x})P(\vec{y},\vec{z})-\eta(\vec{y})P(\vec{x},\vec{z})$ .

Здесь $P(\vec{x},\vec{y})$ – допустимое тензорное поле с компонентами $P^{a}_{bc}=\partial_{n}\Gamma^{a}_{bc}$ .

Теорема 4 [18]. Если почти контактная метрическая структура $(M, \vec{\xi}, \eta, \varphi, g, D)$ является почти контактной кэлеровой структурой, то выполняются следующие условия: $\nabla^{A}\varphi=0$ , где $\nabla^{A}$ - связность, ассоциированная с внутренней метрической связностью $\nabla$ .

Доказательство теоремы 4, в частности, опирается на следующее утверждение. Пусть $\tilde{\omega}$ - произвольная допустимая внешняя 2-форма максимального ранга. В адаптированных координатах ненулевые компоненты ее внешнего дифференциала имеют следующий вид:

$d\tilde{\omega}_{abc}=\frac{1}{3}\left(\vec{e}_{a}\tilde{\omega}_{bc}+\vec{e}_{b}\tilde{\omega}_{ca}+\vec{e}_{c}\tilde{\omega}_{ab}\right)$ , (5)

$d\tilde{\omega}_{nab}=\frac{1}{3}\partial_{n}\tilde{\omega}_{ab}$ . (6)

Введем на распределении D почти контактного многообразия структуру гладкого многообразия следующим образом. Поставим в соответствие каждой адаптированной карте $K(x^{\alpha})$ многообразия M сверхкарту $\tilde{K}(x^{\alpha},x^{n+a})$ на распределении D, полагая, что $\tilde{K}(\vec{x})=(x^{\alpha},x^{n+a})$ , где $x^{n+a}$ - координаты допустимого вектора $\vec{x}$ в базисе $\vec{e}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}:$ $\vec{x}=x^{n+a}\vec{e}_{a}$ . Пусть $\nabla$ - внутренняя связность, заданная на почти контактном многообразии. Задание внутренней связности влечет разложение распределения $\widetilde{D}=\pi^{-1}_{*}(D)$ , где $\pi:D \rightarrow M$ - естественная проекция, в прямую сумму вида $\widetilde{D}=HD \oplus VD$ , где $VD$ - вертикальное распределение на тотальном пространстве D, $HD$ - горизонтальное распределение, порождаемое векторными полями $\vec{\varepsilon}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}-G^{b}_{a}\partial_{n+b}$ , где $G^{a}_{b}(x^{a},x^{n+a})=\Gamma^{a}_{bc}(x^{a})x^{n+c}$ , $\Gamma^{a}_{bc}$ – коэффициенты внутренней связности.

Пусть, далее, $N:D\rightarrow D$ - поле допустимого тензора типа (1,1). N-продолженной связностью назовем связность в векторном расслоении $(D,\pi,M)$ , определяемую разложением $TD=\widetilde{HD}\oplus VD$ , где $\widetilde{HD}=HD\oplus\,Span(\vec{u})$ , $\vec{u}_{\vec{x}}=\vec{\varepsilon}-(N\vec{x})^v$ , $\vec{\varepsilon}=\partial_n$ $\vec{x}\in D$ , $(N\vec{x})^v$ - вертикальный лифт. Относительно базиса $(\vec{\varepsilon}_{a},\partial_n,\partial_{n+a})$ поле $\vec{u}$ получает следующее координатное представление: $\vec{u}=\partial_{n}-N^{a}_{b}x^{n+b}\partial_{n+a}$ . Если не оговорено противное, будем считать, что $N=0$ . В этом случае $\widetilde{HD}=HD\oplus Span(\partial_{n})$ .

Формы $(dx^a, \Theta^n=dx^a+\Gamma^n_a dx^a, \Theta^{n+a}=dx^{n+a}+\Gamma^a_{bc} x^{n+c}dx^b)$ определяют поле кобазисов, сопряженное к полю базисов $(\vec{\varepsilon}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}-\Gamma^{b}_{ac}x^{n+c}\partial_{n+b},\partial_{n},\partial_{n+a})$ .

Проводя необходимые вычисления, получаем следующие структурные уравнения:

$\vec{\varepsilon}_{a},\,\vec{\varepsilon}_{b}]=2\omega_{ba} \partial_n+x^{n+d}R^{c}_{bad}\partial_{n+c}$ ,

$\vec{\varepsilon}_{a},\partial_n]=x^{n+d}\partial_n\Gamma^c_{ad}\partial_{n+c}$ ,

$\vec{\varepsilon}_{a},\,\partial_{n+b}]=\Gamma^{c}_{ab}\partial_{n+c}$ .

Всякому векторному полю $\vec{x}\in \Gamma(TM)$ , заданному на многообразии M, обычным образом соответствует его горизонтальный лифт $\vec{x}^h$ , при этом, $\vec{x}^h\in \Gamma(HD)$ тогда и только тогда, когда $\vec{x}$ - допустимое векторное поле: $\vec{x}\in \Gamma(D)$ .

Справедливость следующей теоремы вытекает из полученных выше структурных уравнений.

Теорема 5. Пусть $\nabla$ - внутренняя симметричная связность с тензором кривизны Схоутена $R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}$ . Тогда для всех $\vec{x},\vec{y}\in \Gamma(D)$ и $\vec{p}\in D$ имеют место следующие равенства

$[\vec{x}^{h},\vec{y}^{h}]_{\vec{p}}=[\vec{x},\vec{y}]^{h}-\left\{R(\vec{x},\vec{y})\vec{p}\right\}^{v}$ (7)

$[\vec{x}^{h},\vec{\xi}^{h}]_{\vec{p}}=[\vec{x},\vec{\xi}]^{h}-\left\{P(\vec{x},\vec{p})\right\}^{v}$ (8)

$[\vec{x}^{h},\vec{y}^{v}]=(\nabla_{\vec{x}}\vec{y})^{v}$ (9)

$[\vec{x}^{v},\vec{\xi}^{h}]=[\vec{x},\vec{\xi}]^{v}$ (10)

Продолженные почти контактные метрические структуры

Определим на распределении D почти контактной метрической структуры $(M, \vec{\xi}, \eta, \varphi, g, D)$ продолженную почти контактную метрическую структуру $(D,J,\vec{u},\lambda=\eta\circ \pi_{*},\tilde{g},\tilde{D})$ , полагая

$\tilde{g}(\vec{x}^h,\vec{y}^h)=\tilde{g}(\vec{x}^v,\vec{y}^v)=g(\vec{x},\vec{y})$ ,

$\tilde{g}(\vec{x}^h,\vec{y}^v)=\tilde{g}(\vec{x}^v,\vec{y}^h)=\tilde{g}(\vec{x}^h,\vec{u})=\tilde{g}(\vec{x}^v,\vec{u})=0$ ,

$J\vec{x}^h=\vec{x}^v$ , $J\vec{x}^v=-\vec{x}^h$ , $J(\vec{u})=\vec{0}$ , $\vec{x},\vec{y}\in \Gamma(D)$ , $\vec{u}=\partial_n=\vec{\xi}^h$ .

Теорема 6. Пусть $(M, \vec{\xi}, \eta, \varphi, g, D)$ - контактная метрическая структура, $dim M>3$ . Тогда продолженная почти контактная метрическая структура $(D,J,\vec{u},\lambda=\eta\circ \pi_{*},\tilde{g},\tilde{D})$ почти нормальна тогда и только тогда, когда распределение D является распределением нулевой кривизны.

Доказательство. Найдем условия, при которых

$\tilde{N}_J=N_J+2(d\lambda \circ J)\otimes \vec{u}=0$ .

Проводя необходимые вычисления на основе использования равенств (7) – (10), получаем следующее:

$\tilde{N}_J(\vec{x}^h,\vec{\xi}^h)=\tilde{N}_J(\vec{x}^v,\vec{\xi}^h)=-\left\{P(\vec{x},\vec{p})\right\}^v$ ,

$\tilde{N}_J(\vec{x}^h,\vec{y}^h)=\tilde{N}_J(\vec{x}^h,\vec{y}^v)=-\tilde{N}_J(\vec{x}^v,\vec{y}^v)=\left\{R(\vec{x},\vec{y})\vec{p}\right\}^v$ .

Учитывая, что при предположениях теоремы обращение в нуль тензора Схоутена влечет равенство $P(\vec{x},\vec{y})=0$ , убеждаемся в справедливости теоремы.

Инфинитезимальные преобразования продолженной почти контактной структуры

Инфинитезимальным автоморфизмом является векторное поле, производные Ли вдоль которого от всех объектов некоторой тензорной структуры равны нулю. Для почти продолженной почти контактной метрической структуры условия того, что вектор $\vec{v}$ будет инфинитезимальным автоморфизмом, в адаптированных координатах выглядят следующим образом:

$L_{\vec{v}}\vec{u}^A=v^B\vec{\varepsilon}_Bu^A-u^B\vec{\varepsilon}_Bv^A+u^BR^A_{CB}v^C,\eqno(11)$

$L_{\vec{v}}\lambda_A=v^B\vec{\varepsilon}_B\lambda_A+\lambda_B\vec{\varepsilon}_Av^B-\lambda_BR^B_{CA}v^C,\eqno(12)$

$L_{\vec{v}}g_{AB}=v^C\vec{\varepsilon}_Cg_{AB}+g_{CB}(\vec{\varepsilon}_Av^C-R^C_{DA}v^D)+g_{CA}(\vec{\varepsilon}_Bv^C-R^C_{DB}v^D),\eqno(13)$

$L_{\vec{v}}J^A_B=v^C\vec{\varepsilon}_CJ^A_B-J^C_B(\vec{\varepsilon}_Cv^A-R^A_{DC}v^D)+J^A_C(\vec{\varepsilon}_Bv^C-R^C_{DB}v^D).\eqno(14)$

В формулах (11)-(14) имеем: $R^n_{ab}=2\omega_{ba}$ , $R^{n+c}_{ab}=x^{n+d}R^c_{bad}$ , $R^{n+c}_{a,n+b}=\Gamma^c_{ab}$ . В адаптированных координатах структурные тензоры представлены следующим образом:

$\vec{u}(\delta^n_A), \lambda(\delta^A_n), \tilde{g}_{ab}=\tilde{g}_{n+a,n+b}=g_{ab}, J^{n+b}_a=-J^b_{n+a}=\delta^b_a.\eqno(15)$

Подставляя (15) в (11)-(14) и проводя необходимые вычисления, убеждаемся в справедливости следующей теоремы.

Теорема 7. Векторное поле $\vec{v}$ является инфинитезимальным эндоморфизмом продолженной метрической структуры тогда и только тогда, когда $\vec{v}$ - полный лифт эндоморфизма исходной структуры.

Список литературы

Букушева А.В. Об алгебре Ли преобразований продолженной почти контактной метрической структуры // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 4-1(48). С. 11-13.
Букушева А.В. Об инфинитезимальных изометриях продолженных почти контактных метрических структур // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 5-1 (49). С. 23-24.
Букушева А.В. Об инфинитезимальных эндоморфизмах допустимой почти симплектической структуры // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 7-1(51). С. 14-16.
Букушева А.В. Об одном примере гиперкэлеровой структуры на контактных кэлеровых распределениях // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 8-1 (52). С. 21-22.
Букушева А.В. О геометрии контактных метрических пространств с $\varphi$-связностью // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. 2015. Т. 40. №17. С. 20-24.
Букушева А.В. О некоторых классах продолженных почти параконтактных метрических структур // Сборник научных статей международной конференции "Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования", Барнаул, 20-24 октября 2015. - Барнаул : Изд-во Алтайского ун-та, 2015. С. 471-474.
Букушева А.В. О некоторых классах распределений с финслеровой структурой // Математика. Механика. 2012. №.14. С. 13-16.
Букушева А.В. О некоторых классах почти параконтактных метрических многообразий // Математика. Механика. 2013. №.15. С. 8-11.
Букушева А.В. Когомологии оснащенных распределений // Математика. Механика. 2014. №.16. С.15-18.
Букушева А.В. Слоения на распределениях с финслеровой метрикой // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т.14. №.3. С.247-251.
Букушева А.В. Нелинейные связности и внутренние полупульверизации на распределении почти контактной метрической структуры // Математика. Механика. 2015. №.17. С. 6-8.
Букушева А.В., Галаев С.В. О допустимой келеровой структуре на касательном расслоении к неголономному многообразию // Математика. Механика. 2005. №7. С. 12-14.
Букушева А.В., Галаев С.В., Иванченко И.П. О почти контактных метрических структурах, определяемых связностью над распределением с финслеровой метрикой // Механика. Математика. 2011. №13. С.10-14.
Букушева А.В., Галаев С.В. Почти контактные метрические структуры, определяемые связностью над распределением с допустимой финслеровой метрикой // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12. №. 3. С. 17-22.
Букушева А.В., Галаев С. В. Связности над распределением и геодезические пульверизации // Известия высших учебных заведений. Математика. 2013. №4. С. 10-18.
Галаев С.В. О некоторых классах N-продолженных связностей // Математика. Механика. 2015. №.17. С. 12-15.
Галаев С.В. Внутренняя геометрия метрических почти контактных многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12. №1. С. 16-22.
Галаев С.В. Почти контактные кэлеровы многообразия постоянной голоморфной секционной кривизны // Известия высших учебных заведений. Математика. 2014. №8. С. 42-52.
Галаев С.В. Почти контактные метрические структуры, определяемые N-продолженной связностью // Математические заметки СВФУ. 2015. Т. 22. №1. С. 25-34.
Галаев С.В. Почти контактные метрические пространства с N-связностью // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15. №3. С. 258-263.
Галаев С.В. Геометрическая интерпретация тензора кривизны Вагнера для случая многообразия с контактной метрической структурой // Сибирский математический журнал. 2016. Т. 57. № 3(337). С. 632-640.
Галаев С.В. Допустимые гиперкомплексные структуры на распределениях сасакиевых многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16. №3. С. 263-272.
Галаев С.В. Гладкие распределения с допустимой гиперкомплексной псевдо-эрмитовой структурой // Вестник Башкирского университета. 2016. Т. 21. №3. С. 551-555.
Галаев С.В. Обобщенный тензор кривизны Вагнера почти контактных метрических пространств // Чебышевский сборник. 2016. Т. 17. №3(59). С. 53-63.
Галаев С.В. О почти контактных метрических пространствах с метрической N-связностью // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 4-1(48). С.14-16.
Галаев С.В. О метрической N-продолженной связности на почти контактном метрическом пространстве // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 5-1(49). С. 20-22.
Галаев С.В. Связности, совместимые с допустимой почти симплектической структурой // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 7-1(51). С. 17-19.
Галаев С.В. Допустимые гиперкомплексные структуры на контактных кэлеровых распределениях // Современные проблемы математических и естественных наук в мире. Сборник научных трудов по итогам международной научно-практической конференции. Казань. Изд-во: Инновационный центр развития образования и науки. 2015. С. 22-24.
Галаев С.В. О продолжении почти контактных метрических структур // Актуальные вопросы и перспективы развития математических и естественных наук. Сборник научных трудов по итогам международной научно-практической конференции. Омск. Изд-во: Инновационный центр развития образования и науки. 2015. С. 21-25.
Галаев С.В. О контактных метрических пространствах с распределением нулевой кривизны // Сборник научных статей международной конференции "Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования", Барнаул, 20-24 октября 2015. - Барнаул : Изд-во Алтайского ун-та, 2015. С. 479-482.
Галаев С.В. Замечания о контактно-геодезических преобразованиях почти контактных метрических многообразий // Фундаментальные и прикладные исследования в современном мире. 2016. №15-1. С. 54-57.
Галаев С.В. Обобщенные би-контактные структуры на распределениях сасакиевых многообразий // Фундаментальные и прикладные исследования в современном мире. 2016. №15-1. С. 57-59.
Галаев С.В. Примеры многообразий со специальной квази-сасакиевой структурой // Новая наука: Теоретический и практический взгляд. 2016. №10-2. С. 31-33.
Галаев С.В. Об одном примере допустимой гиперкомплексной псевдо-эрмитовой структуры с метрикой полного лифта // Новая наука: Теоретический и практический взгляд. 2016. №10-2. С. 28-31.
Галаев С.В. N-продолженные симплектические связности в почти контактных метрических пространствах // Известия высших учебных заведений. Математика. 2017. №3. С. 15-23.
Aso K. Notes on some Properties of the Sectional Curvature of the Tangent Bundle // Yokohama Math. J. 1981. №29. P. 1-5.
Besse A. L. Einstein Manifolds, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. №10(3). Springer, 1987.
Cheeger J., Gromoll D. On the structure of complete manifolds of nonnegative curvature // Ann. of Math. 1972. №96. P. 413-443.
Calvo M. del Carmen, Keilhauer G.G.R. Tensor Fields of Type (0;2) on the Tangent Bundle of a Riemannian Manifold // Geom Dedicata. 1998. №71. P. 209-219.
Carmo M. P. Riemannian Geometry. Birkhauser, 1993.
Dombrowski P. On the Geometry of the Tangent Bundle // J. Reine Angew. Math. 1962. №210. P. 73-88.
Galaev S.V. Intrinsic geometry of almost contact Kahlerian manifolds // Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyiregyhaziensis. 2015. Vol. 31. №1. P. 35-46.
Gromoll D., Klingenberg W., Meyer W. Riemannsche Geometrie im Großen, Lecture Notes in Mathematics 55, Springer, 1968.
Gudmundsson S. An Introduction to Riemannian Geometry. Lecture Notes. http://www.maths.lth.se/matematiklu/personal/sigma/
Kobayashi S., Nomizu K. Foundations of Differential Geometry, Tracts in Mathematics 15, vol.I+II, Interscience, 1963 and 1969.
Kowalski O. Curvature of the Induced Riemannian Metric on the Tangent Bundle of a Riemannian Manifold // J. Reine Angew. Math. 1971. №250. P. 124-129.
Kowalski O., Sekizawa M. Natural Transformations of Riemannian Metrics on Manifolds to Metrics on Tangent Bundles // Bull. Tokyo Gakugei Univ. 1988. №40(4). P. 1-29.
Kowalski O., Sekizawa M. On tangent sphere bundles with small or large constant radius // Ann. Global. Anal. Geom. 2000. Vol. 18. no. 3-4. P. 207-219.
Musso E., Tricerri F. Riemannian Metrics on Tangent Bundles // Ann. Mat. Pura. Appl. 1988. №150(4). P. 1-19.
Nagano T. Isometries on complex-product spaces // Tensor 1959. №9. P. 47-61.
Neill B. O. The fundamental Equations of a Submersion // Michigan Math. J. 1966. №13. P. 459-469.
Sasaki S. On the differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifolds // Tohoku Math. J. 1958. №10. P. 338-354.
Sasaki S. On the differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifolds II // Tohoku Math. J. 1962. №14 P. 146-155.
Sekizawa M. Curvatures of Tangent Bundles with Cheeger-Gromoll Metric // Tokyo J. Math. 1991. No. 2. P. 407-417.
Tachabani S., Okumura M. On the almost-complex structure of tangent bundles of Riemannian Spaces // Tohoku Math. J. 1962. №14. P. 152-161.
Tricerri F., Vanhecke L. Homogeneous Structures on Riemannian Manifolds. London Mathematical Society Lecture Note Series 83, Cambridge, 1983.
Yano K., Ishihara S. Tangent and Cotangent Bundles. Differential Geometry // Pure and Applied Mathematics 16, Marcel Dekker, 1973.