Решение задачи Гурса для уравнения Эйлера-Пуассона методом Вольтерра

№42-3,

Физико-математические науки

В статье рассматривается краевая задача для уравнения Эйлера-Пуассона в трехмерной области специального вида. Основной целью статьи является демонстрация метода Вольтерра, который позволяет доказать однозначную разрешимость поставленной задачи и записать ее решение в явном виде.

Похожие материалы

В современной теории краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимает изучение вырождающихся гиперболических и эллиптических уравнений, а также уравнений смешанного типа [1], [2]. Интерес к такого рода уравнениям объясняется теоретической значимостью полученных результатов и их многочисленными приложениями в различных разделах естествознания [3-5]. Так как вырождающиеся уравнения являются моделями реальных процессов, то это обуславливает актуальность постановки и решения для них краевых задач, которые являются предметом фундаментальных исследований [6].

Известное в классической теории уравнение

 E(u) \equiv u_{xx}-u_{yy}-u_{zz}- \frac{2q}{z} \cdot u_{z} = 0, \quad 0<2q<1,

будем рассматривать в области Ω трехмерного евклидова пространства, ограниченной характеристическим конусом S:\; z= -1+\sqrt{x^{2}+y^{2}},\;-1\leq z\leq 0, и кругом D_{0}: \; x^{2}+y^{2} \leq 1, \; z=0.

Требуется найти функцию  u(x,y,z) со следующими свойствами:

1) u \in C \left( \overline{\Omega} \right);

2) u \in C^{2} \left( \overline{\Omega} \right) и E(u) \equiv 0 в Ω;

3)  u|_{S} = \psi(x, y).

Фактически требуется решить задачу Гурса для данного уравнения третьего порядка в трехмерной области специального вида, так как именно на границе области задается известная функция.

Для решения задачи применен метод Вольтерра. В классической теории краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных функция Вольтерра известна для уравнения цилиндрических волн [7], а так же она найдена для телеграфного уравнения. Функция Вольтерра для рассматриваемого уравнения известна из работы [8], она имеет вид:

v \left( x,y,z; x_{0},y_{0},z_{0} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{z}{z_{0}} \right)^{q}\cdot \sigma ^{\frac{1}{2}}\cdot (1- \tau)^{q} \times

\times \int\limits_0^{1} t^{-\frac{1}{2}} \cdot (1- \sigma + \sigma t)^{-\frac{1}{2}}\cdot (1-\tau t)^{-q} \cdot F \left(q,q,1; \frac{\tau (1- \tau)}{1- \tau t} \right) dt,

\sigma = \frac{(z-z_{0})^{2} - r_{0}^{2}}{(z-z_{0})^{2}}, \quad \tau = \frac{(z-z_{0})^{2} - r_{0}^{2}}{(z+z_{0})^{2} - r_{0}^{2}}, \quad r_{0}^{2} = (x-x_{0})^{2} + (y-y_{0})^{2}.

Пусть M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) - произвольная точка области \Omega. Проведем характеристический конус S_{0}: \; z= z_{0}-r_{0} и обозначим через G область, ограниченную конусами S и S0. Реализация метода Вольтерра предполагает использование формулы Грина для операторов E(u) и E*(u):

 \int\!\!\!\int\limits_G\!\!\!\int \left[ v E(u) - u E^{*}(v) \right] dv=\int\limits_{\Sigma}\!\!\!\int \left( v \frac{\partial u}{\partial N} - u \frac{\partial v}{\partial N} + \frac{2q}{z}uv N_{z} \right) d\Sigma,

где Σ - граница G, N - направление конормали к Σ, а Nx, Ny, Nz - направляющие косинусы конормали.

Поскольку функция Вольтерра имеет логарифмическую особенность на оси косинуса S0, а ее частные производные обращаются в бесконечность и на оси этого конуса и на нем самом, то формулу Грина нельзя применять к области G.

Задавшись достаточно малым числом ε > 0, построим вспомогательную область Gε, ограниченную:

  1. цилиндром r0 = ε,
  2. конусом Sφ, вершина и ось которого те же, что и у конуса S0, а образующие составляют с осью угол \varphi = \frac{\pi}{4} - \varepsilon,
  3. частью конуса S.

Пусть в формуле Грина u - есть решение задачи, а v - функция Вольтерра. Применяя эту формулу к области Gε, а затем, осуществляя в полученном тождестве предельный переход при ε → 0, придем к интегральному уравнению Вольтерра первого рода:

\int\limits_{z_{1}}^{z_{0}} u(x_{0},y_{0},z)\cdot \left( \frac{z}{z_{0}} \right)^{q} \cdot (1-\sigma_{0})^{q}\cdot F(q,q,1; \sigma_{0}) \;dz = f(x_{0},y_{0},z_{0}),

где z_{1} = -1+\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}},\quad  \quad \sigma_{0} = \frac{(z-z_{0})^{2}}{(z+z_{0})^{2}},

f(x_{0},y_{0},z_{0}) = -\frac{1}{2 \pi} \int\limits_{S_{1}}\!\!\!\int \left( v \frac{\partial u}{\partial N} - u \frac{\partial v}{\partial N} + \frac{2q}{z}uv N_{z} \right) dS,

S1 - часть конуса S, входящая в границу области G.

Это уравнение изучено в работе [9]. Применяя формулу его обращения, получим следующее представление решения задачи:

 u(x_{0},y_{0},z_{0}) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{D_{1}}\!\!\!\int \psi_{1} (x,y) \cdot H(x,y;x_{0},y_{0},z_{0})\, dx \, dy.

Здесь

\psi_{1} (x,y) = \frac{2}{r} \left[ x \psi_{x} (x,y) + y \psi_{y} (x,y) \right] + \left( \frac{1}{r} + \frac{2q}{r-1} \right) \psi (x,y),

r = \sqrt{x^{2}+y^{2}},

 H(x,y;x_{0},y_{0},z_{0}) = \left( \frac{r-1}{z_{0}} \right)^{q} \cdot w_{z_{0}}(x,y,r-1;x_{0},y_{0},z_{0}) +

 + \frac{1}{2}q(1-q) \int\limits_{r_{0}+r-1}^{z_{0}} \frac{1}{z^{2}} F \left(q+1,\frac{3}{2},3; \frac{z^{2} - z_{0}^{2}}{z^{2}} \right)</p><p>v(x,y,r-1; x_{0},y_{0},z) \, dz,

 w = \left( \frac{z}{z_{0}} \right)^{-q} \cdot  v,

D1 - проекция S1 на плоскость xOy.

Если  \psi (x,y) \in C^{3} \left( \overline{D_{0}} \right) , то построенная функция u(x,y,z) является классическим решением поставленной задачи Гурса.

Список литературы

  1. Энбом Е.А. Некоторые краевые задачи для вырождающихся гиперболических уравнений третьего порядка в трехмерных областях. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Самара. 2003.
  2. Энбом Е.А. Аналог задачи Коши для уравнения третьего порядка. В сборнике: Математическое моделирование и краевые задачи. Труды тринадцатой межвузовской конференции. Редколлегия: В.П. Радченко (отв. редактор), Э.Я. Раппопорт, Е.Н. Огородников, М.Н. Саушкин (отв. секретарь). 2003. С. 171-173.
  3. Балабаева Н.П. Исследование устойчивости дифференциальных включений методом усреднения. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Самара. 2005.
  4. Балабаева Н.П. Устойчивость нелипшицевых дифференциальных уравнений с управлением. В сборнике: Математическое моделирование и краевые задачи. Труды тринадцатой межвузовской конференции. Редколлегия: В.П. Радченко (отв. редактор), Э.Я. Раппопорт, Е.Н. Огородников, М.Н. Саушкин (отв. секретарь). 2005. С. 31-33.
  5. Балабаева Н.П. Устойчивость систем дифееренциальных включений по медленным переменным. Наука и мир. 2015. Т.1. № 3 (19). С. 19-21.
  6. Энбом Е.А. Решение краевой задачи для гиперболического уравнения третьего порядка в трехмерной области и его применения. Самарский научный вестник. 2014. № 4(9). С. 145-147.
  7. Положий Г.Н. Уравнения математической физики. Москва: Высшая школа. 1964. 560 с.
  8. Ежов А.М. О функции Вольтерра для уравнения Эйлера-Пуассона и ее применении к решению задачи Коши и характеристической задачи. Краевые задачи для уравнений математической физики. Межвузовский сборник научных трудов. Куйбышев. 1990. С. 19-26.
  9. Энбом Е.А. Решение интегрального уравнения Вольтерра первого рода с непрерывным ядром. Вестник Самарского государственного педагогического университета. Самара. 2006. С. 31-41.