N-продолженные связности на распределениях субримановых многообразий

№75-2,

Физико-математические науки

На распределении D субриманова многообразия M определяется почти контактная Би-метрическая структура. Находятся условия, при которых N-продолженная связность, естественным образом определяемая Би-метрической структурой, является метрической связностью.

Похожие материалы

Введение

Под субримановым многообразием контактного типа понимается гладкое многообразие M размерности n с заданной на нем субримановой структурой (M, \vec{\xi}, \eta, g, D), где: \eta — 1-форма, порождающая распределениеD: D=ker \eta; \vec{\xi} — векторное поле, порождающее оснащение D^{\bot} распределения D: D^{\bot}=Span(\vec{\xi}); g — риманова метрика на многообразии M, относительно которой распределения D и D^{\bot} взаимно ортогональны. Мы также полагаем, что \eta(\vec{\xi})=1 и g(\vec{\xi},\vec{\xi})=1. Используя конструкцию продолжения [2-4, 7, 8, 10, 15-25] почти контактных метрических структур, мы определяем на тотальном пространстве D векторного расслоения (D,\pi,M) почти контактную структура с Би-метрикой, названную в работе продолженной структурой.

В работе [19] на многообразии с почти контактной метрической структурой (M, \vec{\xi}, \eta, g, \varphi) и эндоморфизмом N:D\rightarrow D введено понятие N-продолженной связности \nabla^N=(\nabla,N), где \nabla — внутренняя связность. Найден эндоморфизм N:D\rightarrow D, при котором тензор кривизны N-продолженной связности совпадает с тензором кривизны Вагнера. Там же установлено соответствие между множеством N-продолженных связностей и множеством N-связностей. Показано, что класс N-связностей включает в себя связность Танака-Вебстера и связность Схоутена-ван Кампена. Получено равенство, выражающее N-связность через связность Леви-Чивита. В настоящей работе находятся условия, при которых N-продолженная связность, естественным образом определяемая Би-метрической структурой является метрической связностью.

Субримановы многообразия контактного типа

Пусть M — гладкое многообразие размерности n с заданной на нем субримановой структурой (M, \vec{\xi}, \eta, g, D), где \eta и \vec{\xi} 1-форма и единичное векторное поле, порождающие, соответственно, ортогональные между собой распределения D и D^{\bot} и связанные соотношением \eta(\vec{\xi})=1. Внутренней линейной связностью \nabla [1, 5, 6, 8, 9, 15-25] на субримановом многообразии называется отображение \nabla:\Gamma (D) \times \Gamma (D) \rightarrow \Gamma (D),

удовлетворяющее следующим условиям:

  1. \nabla_{f_1\vec{x}+f_2\vec{y}}=f_1\nabla_{\vec{x}}+f_2\nabla_{\vec{y}};
  2. \nabla_{\vec{x}}f\vec{y}=(\vec{x}f)\vec{y}+f\nabla_{\vec{x}}\vec{y},
  3. \nabla_{\vec{x}}(\vec{y}+\vec{z})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}+\nabla_{\vec{x}}\vec{z},

где \Gamma(D) — модуль допустимых векторных полей (векторных полей, в каждой точке принадлежащих распределению D).

Внутренняя связность определяет дифференцирование допустимых тензорных полей. Вот так, например, определяется производная эндоморфизма \varphi распределения D: (\nabla_{\vec{x}}\varphi)\vec{y}=\nabla_{\vec{x}}(\varphi\vec{y})-\varphi(\nabla_{\vec{x}}\vec{y}), \vec{x},\vec{y}\in \Gamma(D).

На протяжении всей работы мы используем адаптированные координаты. Карту K(x^{\alpha})(\alpha,\beta,\gamma=1,...,n; a,b,c=1,...,n-1;i,j,k=2n-1) многообразия M будем называть адаптированной к распределению D, если \partial_n=\vec{\xi}. Пусть P:TM\rightarrow D — проектор, определяемый разложением TM=D\oplus D^{\bot}, и K(x^{\alpha}) — адаптированная карта. Векторные поля P(\partial_{a})=\vec{e}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n} линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают распределение D: D=Span(\vec{e}_{a}).

Коэффициенты внутренней линейной связности определяются из соотношения \nabla_{\vec{e}_a}\vec{e}_b=\Gamma^c_{ab}\vec{e}_c. Из равенств \vec{e}_a=A^{a`}_a\vec{e}_{a`}, где A^{a`}_a=\frac{\partial x^{a`}}{\partial x^a}, обычным образом следует формула преобразования для коэффициентов внутренней связности:

\Gamma^c_{ab}=A^{a`}_aA^{b`}_bA^{c`}_c\Gamma^{c`}_{a`b`}+A^c_{c`}\vec{e}_aA^{c`}_b.

Кручением и кривизной внутренней связности назовем, соответственно, допустимые тензорные поля:

S(\vec{x},\vec{y})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}-\nabla_{\vec{y}}\vec{x}-P[\vec{x},\vec{y}],

R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=\nabla_{\vec{x}}\nabla_{\vec{y}}\vec{z}-\nabla_{\vec{y}}\nabla_{\vec{x}}\vec{z}-\nabla_{P[\vec{x},\vec{y}]}\vec{z}-P[Q[\vec{x},\vec{y}],\vec{z}],

где Q=I-P, \vec{x},\vec{y},\vec{z} \in \Gamma(D). Тензор R(\vec{x},\vec{y})\vec{z} носит название тензора кривизны субриманова многообразия. Имеет место

Предложение 1

На субримановом многообразии существует единственная связность \nabla с нулевым кручением, такая, что

\nabla_{\vec{x}}g(\vec{x},\vec{y})=0.

Назовем связность \nabla внутренней метрической связностью. Коэффициенты внутренней метрической связности находятся по формулам

\Gamma^a_{bc}=\frac{1}{2}g^{ad}(\vec{e}_b g_{cd}+\vec{e}_c g_{bd}-\vec{e}_{bc}).

N-продолженные связности

Внутренняя линейная связность может быть определена заданием горизонтального распределения над пространством векторного расслоения (D,\pi,M). Будем говорить, что над распределением D задана связность, если распределение \widetilde{D}=\pi^{-1}_{*}(D), где \pi:D \rightarrow M — естественная проекция, раскладывается в прямую сумму вида \widetilde{D}=HD \oplus VD, где VD — вертикальное распределение на тотальном пространстве D.

Введем на D структуру гладкого многообразия, поставив в соответствие каждой адаптированной карте K(x^\alpha) на многообразии M сверхкарту \tilde{K}(x^{\alpha},x^{n+a}) на многообразии D, где x^{n+a} — координаты допустимого вектора в базисе \vec{e}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}. Построенную сверхкарту также будем называть адаптированной. Задание связности над распределением эквивалентно заданию объекта G^{a}_{b}(x^{a},x^{n+a}) такого, что HD=Span(\vec{\varepsilon}_{a}), где \vec{\varepsilon}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}-G^{b}_{a}\partial_{n+b}. В случае, когда G^{a}_{b}(x^{a},x^{n+a})=\Gamma^{a}_{bc}(x^{a})x^{n+c},связность над распределением определяется внутренней линейной связностью. N-продолженной связностью называется связность в векторном расслоении (D,\pi,M), определяемая разложением TD=\widetilde{HD}\oplus VD, где \widetilde{HD}=HD\oplus\,span(\vec{u}), \vec{u}_{\vec{x}}=\vec{\varepsilon}-(N\vec{x})^v, \vec{\varepsilon}=\partial_n\vec{x}\in D, (N\vec{x})^v — вертикальный лифт. Относительно базиса (\vec{\varepsilon}_{a},\partial_n,\partial_{n+a}) поле \vec{u} получает следующее координатное представление: \vec{u}=\partial_{n}-N^{a}_{b}x^{n+b}\partial_{n+a}.

Будем использовать следующее обозначение для N-продолженной связности: \nabla^N=(\nabla,N), где \nabla — внутренняя связность. N-продолженную связность назовем метрической, если \nabla — внутренняя симметричная метрическая связность и выполняется равенство

\nabla^N_{\vec{\xi}}g_{ab}=\partial_ng_{ab}-N^c_ag_{cb}-N^c_bg_{ac}=0.

Если не оговорено противное, на протяжении всей работы под связностью \nabla будет пониматься внутренняя симметричная метрическая связность.

Векторные поля

(\vec{\varepsilon}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}-\Gamma^{b}_{ac}x^{n+c}\partial_{n+b},\vec{u}=\partial_{n}-N^{a}_{b}x^{n+b}\partial_{n+a},\partial_{n+a})

определяют на D неголономное (адаптированное) поле базисов, а формы

(dx^a, \Theta^n=dx^n+\Gamma^n_a dx^a, \Theta^{n+a}=dx^{n+a}+\Gamma^a_{bc} x^{n+c}dx^b+N^a_b x^{n+b} dx^n)

— соответствующее поле кобазисов. Проводя необходимые вычисления, получаем следующие структурные уравнения:

[\vec{\varepsilon}_{a},\,\vec{\varepsilon}_{b}]=2\omega_{ba} \vec{u}+x^{n+d}(2\omega_{ba}N^c_d+R^{c}_{bad})\partial_{n+c},

</p><p>[\vec{\varepsilon}_{a},\vec{u}]=x^{n+d}(\partial_n\Gamma^c_{ad}-\nabla_a N^c_d)\partial_{n+c},

[\vec{\varepsilon}_{a},\,\partial_{n+b}]=\Gamma^{c}_{ab}\partial_{n+c},</p><p>

[\vec{u},\partial_{n+a}]=N^c_a \partial_{n+c}.

Продолженные почти контактные Би-метрические структуры

Пусть M — гладкое многообразие нечетной размерности n=2m+1, m\geq 1, с заданной на нем почти контактной структурой (M, \vec{\xi}, \eta, \varphi,D), где \varphi — тензор типа (1,1), называемый структурным эндоморфизмом, \vec{\xi} и \eta — вектор и ковектор, называемые, соответственно, структурным вектором и контактной формой, такие, что:

\varphi\vec{\xi}=\vec{0}, \varphi^2=-I+\eta\otimes \vec{\xi},

\eta\circ \varphi=0, \eta(\vec{\xi})=1.

Если почти контактная структура (M, \vec{\xi}, \eta, \varphi, D) согласована с псевдо-римановой метрикой g таким образом, что

g(\varphi\vec{x},\varphi\vec{y})=-g(\vec{x},\vec{y})+\eta(\vec{x})\eta(\vec{y}),

где \vec{x},\vec{y}\in \Gamma(TM), \Gamma(TM) — модуль векторных полей на многообразии M, то структура (M, \vec{\xi}, \eta, \varphi, g, D) называется почти контактной структурой с Би-метрикой [29-40], а многообразие M — почти контактным многообразием с Би-метрикой или, Би-метрическим многообразием. Распределение D=ker\eta будем называть распределением Би-метрического многообразия, а распределение D^{\bot}=Span(\vec{\xi}) — оснащением распределения D.

Пусть, теперь D — распределение субриманова многообразия контактного типа. Если положить N=0, то теперь уже векторные поля (\vec{\varepsilon}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}-\Gamma^{b}_{ac}x^{n+c}\partial_{n+b},\partial_{n},\partial_{n+a})=(A_i) будут определять на распределении D адаптированное поле базисов, а формы (dx^a, \Theta^n=dx^a+\Gamma^n_a dx^a, \Theta^{n+a}=dx^{n+a}+\Gamma^a_{bc}x^{n+c} dx^b) — соответствующее поле кобазисов. Структурные уравнения, при этом, принят более простой вид:

[\vec{\varepsilon}_{a},\,\vec{\varepsilon}_{b}]=2\omega_{ba} \partial_n+x^{n+d}R^{c}_{bad}\partial_{n+c},

[\vec{\varepsilon}_{a},\partial_n]=x^{n+d}\partial_n\Gamma^c_{ad}\partial_{n+c},

[\vec{\varepsilon}_{a},\,\partial_{n+b}]=\Gamma^{c}_{ab}\partial_{n+c}.

Имеет место

Предложение 2

Пусть \nabla — внутренняя связность с тензором кривизны Схоутена R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}. Тогда, для всех \vec{x},\vec{y}\in \Gamma(D) и \vec{p}\in D имеют место следующие равенства:

[\vec{x}^{h},\vec{y}^{h}]_{\vec{p}}=[\vec{x},\vec{y}]^{h}-\left\{R(\vec{x},\vec{y})\vec{p}\right\}^{v},\eqno(1)

[\vec{x}^{h},\vec{\xi}^{h}]_{\vec{p}}=[\vec{x},\vec{\xi}]^{h}+\left\{P(\vec{x},\vec{p})\right\}^{v}, \eqno(2)

[\vec{x}^{h},\vec{y}^{v}]=(\nabla_{\vec{x}}\vec{y})^{v}, \eqno(3)

[\vec{x}^{v},\vec{\xi}^{h}]=[\vec{x},\vec{\xi}]^{v}. \eqno(4)

Определим на многообразии D почти контактную структуру (\tilde{D},J,\vec{u},\lambda=\eta\circ \pi_*,D), полагая J\vec{x}^h=\vec{x}^v, J\vec{x}^v=-\vec{x}^h. Здесь \pi:D\rightarrow M — естественная проекция. Определим, далее, на многообразии M метрику \tilde{g}, подчиняющуюся равенствам:

\tilde{g}(\vec{x}^h,\vec{y}^h)=-\tilde{g}(\vec{x}^v,\vec{y}^v)=g(\vec{x},\vec{y}),

\tilde{g}(\vec{x}^h,\vec{y}^v)=\tilde{g}(\vec{x}^h,\vec{u})=\tilde{g}(\vec{x}^v,\vec{u})=0.

Имеют место следующие предложения.

Предложение 3

Структура (\tilde{D},J,\vec{u},\lambda=\eta\circ \pi_*,\tilde{g},D) является почти контактной структурой с Би-метрикой.

Доказательство. В соответствии с определением тензоров J, \tilde{g} получаем:

  1. \tilde{g}(J\vec{x}^h,J\vec{y}^h)=\tilde{g}(\vec{x}^v,\vec{y}^v)=-g(\vec{x},\vec{y})=-\tilde{g}(\vec{x}^h,\vec{y}^h),
  2. \tilde{g}(J\vec{x}^v,J\vec{y}^v)=\tilde{g}(\vec{x}^h,\vec{y}^h)=g(\vec{x},\vec{y})=-\tilde{g}(\vec{x}^v,\vec{y}^v).
Предложение 4

Пусть \tilde{\nabla} — связность Леви-Чивита на Би-метрическом многообразии , тогда ее коэффициенты в адаптированных координатах получают следующее представление:

\tilde{\Gamma}^c_{ab}=\Gamma^c_{ab},

2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{ab}=R^c_{bad}x^{n+d},

2\tilde{\Gamma}^n_{ab}=2\omega_{ba}-\partial_ng_{ab},

2\tilde{\Gamma}^c_{a,n+b}=2\tilde{\Gamma}^c_{n+b,a}=-2g^{cd}R^e_{adf}x^{n+f}g_{eb},

\tilde{\Gamma}^{n+c}_{a,n+b}=\Gamma^c_{ab},

2\tilde{\Gamma}^n_{a,n+b}=2\tilde{\Gamma}^n_{n+b,a}=\partial_n\Gamma^e_{ac}x^{n+c}g_{eb},

2\tilde{\Gamma}^n_{n+a,n+b}=\partial_ng_{ab},

2\tilde{\Gamma}^c_{an}=2\tilde{\Gamma}^c_{na}=g^{cd}(2\omega_{ad}+\partial_ng_{ad}),

2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{an}=\partial_n\Gamma^c_{ad}x^{n+d}=-2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{na},

2\tilde{\Gamma}^c_{n+a,n}=2\tilde{\Gamma}^c_{n,n+a}=g^{cd}\partial_n\Gamma^e_{db}x^{n+b}g_{ae},

2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{n+a,n}=2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{n,n+a}g^{cd}\partial_ng_{ad}.

Доказательство предложения 4 основано на использовании равенств (1)-(4), а также выражения для коэффициентов связности:

2\Gamma^m_{ij}=g^{km}(A_ig_{jk}+A_jg_{ik}-A_kg_{ij}+\Omega^l_{kj}g_{li}+\Omega^l_{ki}g_{lj})+\Omega^m_{ij},

где \Omega^n_{ab}=2\omega_{ba}, \Omega^{n+c}_{ab}=R^{n+c}_{ab}, \Omega^{n+c}_{a,n+b}=\Gamma^c_{ab}, \Omega^{n+c}_{an}=\partial_n\Gamma^c_{ab}x^{n+b}.

N-продолженные связности на распределениях субримановых многообразий

Определим на многообразии D эндоморфизм N, задавая его ненулевые компоненты в адаптированном базисе следующим образом:

N^c_a=\frac{1}{2}g^{cd}(2\omega_{ad}+\partial_ng_{ad}),

N^{n+c}_{n+a}=\frac{1}{2}g^{cd}\partial_ng_{ad},

N^{n+c}_a=-\frac{1}{2}\partial_n\Gamma^c_{ad}x^{n+d},

N^c_{n+a}=\frac{1}{2}g^{cd}\partial_n\Gamma^e_{db}x^{n+b}g_{ae}.

Имеет место

Теорема

Пусть \nabla — внутренняя связность, определяемая на многообразии D в адаптированном репере с помощью формул

\Gamma^{n+c}_{a,n+b}=\Gamma^a_{bc}=\frac{1}{2}g^{ad}(\vec{e}_b g_{cd}+\vec{e}_c g_{bd}-\vec{e}_{bc}),

2\Gamma^{n+c}_{ab}=R^c_{bad}x^{n+d},

2\Gamma^c_{a,n+b}=-g^{cd}R^e_{adf}x^{n+f}g_{eb}.

Тогда, если M — субриманово многообразие такое, что L_{\vec{\xi}}g=0, то N-продолженная связность \nabla^N=(\nabla,N), где N — определенный выше эндоморфизм, является метрической связностью.

Доказательство теоремы сводится к непосредственным вычислениям.

Список литературы

  1. Букушева А.В., Галаев С.В., Иванченко И.П. О почти контактных метрических структурах, определяемых связностью над распределением с финслеровой метрикой // Механика. Математика. 2011. №13. С.10-14.
  2. Букушева А.В., Галаев С.В. О допустимой келеровой структуре на касательном расслоении к неголономному многообразию // Математика. Механика. 2005. №7. С. 12-14.
  3. Букушева А.В. Применение Wolfram Language для выделения специальных классов почти контактных метрических структур // Компьютерные науки и информационные технологии : Материалы Междунар. науч. конф. - Саратов : Издат. центр."Наука", 2016. С. 105-107.
  4. Букушева А.В. О некоторых классах распределений с финслеровой структурой // Математика. Механика. 2012. №.14. С. 13-16.
  5. Букушева А.В. Когомологии оснащенных распределений // Математика. Механика. 2014. №.16. С.15-18.
  6. Букушева А.В. Об алгебре Ли преобразований продолженной почти контактной метрической структуры // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 4-1(48). С. 11-13.
  7. Букушева А.В. Об одном примере гиперкэлеровой структуры на контактных кэлеровых распределениях // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 8-1 (52). С. 21-22.
  8. Букушева А.В. Об инфинитезимальных изометриях продолженных почти контактных метрических структур // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 5-1 (49). С. 23-24.
  9. Букушева А.В. Об инфинитезимальных эндоморфизмах допустимой почти симплектической структуры // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 7-1(51). С. 14-16.
  10. Букушева А.В. О некоторых классах почти параконтактных метрических многообразий // Математика. Механика. 2013. №.15. С. 8-11.
  11. Букушева А.В. Нелинейные связности и внутренние полупульверизации на распределении с обобщенной лагранжевой метрикой // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. 2015. №46. С.58-62.
  12. Букушева А.В. Изометрические преобразования продолженных почти контактных метрических структур с метрикой полного лифта // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. 2016. №47. С. 39-47.
  13. Букушева А.В. О некоторых классах продолженных почти параконтактных метрических структур // Сборник научных статей международной конференции "Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования", Барнаул, 20-24 октября 2015. - Барнаул : Изд-во Алтайского ун-та, 2015. С. 471-474.
  14. Букушева А.В. Использование Mathematica для описания геометрии динамических систем // Математика и ее приложения: фундаментальные проблемы науки и техники : сборник трудов всероссийской конференции, Барнаул, 24 - 26 ноября 2015. - Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2015. С. 248-249.
  15. Галаев С.В. N-продолженные симплектические связности в почти контактных метрических пространствах // Известия высших учебных заведений. Математика. 2017. №3. С. 15-23.
  16. Галаев С.В. Геометрическая интерпретация тензора кривизны Вагнера для случая многообразия с контактной метрической структурой // Сибирский математический журнал. 2016. Т. 57. № 3(337). С. 632-640.
  17. Галаев С.В. Гладкие распределения с допустимой гиперкомплексной псевдо-эрмитовой структурой // Вестник Башкирского университета. 2016. Т. 21. №3. С. 551-555.
  18. Галаев С.В. Допустимые гиперкомплексные структуры на распределениях сасакиевых многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16. №3. С. 263-272.
  19. Галаев С.В. Обобщенный тензор кривизны Вагнера почти контактных метрических пространств // Чебышевский сборник. 2016. Т. 17. №3(59). С. 53-63.
  20. Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Почти контактные метрические структуры, определяемые симплектической связностью над распределением // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15. №2. С. 136-141.
  21. Галаев С.В. Почти контактные метрические пространства с N-связностью // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15. №3. С. 258-263.
  22. Галаев С.В. Продолженные структуры на кораспределениях контактных метрических многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17. №2. С. 138–147.
  23. Галаев С.В. Почти контактные метрические многообразия с распределением нулевой кривизны // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. 2017. Т. 46. №6 (255). C. 36-43.
  24. Галаев С.В. О распределениях со специальной квази-сасакиевой структурой // Математическая физика и компьютерное моделирование. 2017. №2 (39). С. 6-17.
  25. Галаев С.В., Гохман А.В. Почти симплектические связности на неголономном многообразии // Математика. Механика. 2001. №3. С. 28-31.
  26. Галаев С.В. О почти контактных метрических пространствах с метрической N-связностью // Современные научные исследования и инновации. 2015. №4-1 (48). С. 14-16.
  27. Галаев С.В. О метрической N-продолженной связности на почти контактном метрическом пространстве // Современные научные исследования и инновации. 2015. №5-1 (49). С. 20-22.
  28. Галаев С.В., Гохман А.В. Обобщенные гамильтоновы системы на многообразиях со связностью // Математика. Механика. 2000. №2. С. 16-19.
  29. Ganchev G., Mihova V., Gribachev K. Almost contact manifolds with B-metric. Math. Balkanica (N.S.) 7 (3-4) (1993) 261–276.
  30. Gribachev K., Mekerov D., Djelepov G., On the geometry of almost B-manifolds. C. R. Acad. Bulgare Sci. 38 (1985) 563–566.
  31. Manev H. Almost contact B-metric structures and the Bianchi classification of the three-dimensional Lie algebras, Annuaire Univ. Sofia Fac. Math. Inform. 102 (2015) 133–144.
  32. Manev H. Matrix Lie groups as 3-dimensional almost contact B-metric manifolds, Facta Univ. Ser. Math. Inform. 30 (3) (2015) 341–351.
  33. Manev H., Mekerov D. Lie groups as 3-dimensional almost contact B-metric manifolds. J. Geom. 106 (2015) 229–242.
  34. Manev M. Contactly conformal transformations of general type of almost contact manifolds with B-metric. Applications. Math. Balkanica (N.S.) 11 (3-4) (1997) 347–357.
  35. Manev M. Curvature properties on some classes of almost contact manifolds with B-metric. C. R. Acad. Bulgare Sci. 65 (5) (2012) 283–290.
  36. Manev M. Pair of associated Schouten-van Kampen connections adapted to an almost contact B-metric structure. Filomat 29 (10) (2015) 2437–2446.
  37. Manev M., Ivanova M. A natural connection on some classes of almost contact manifolds with B-metric. C. R. Acad. Bulg. Sci. 65 (4) (2012) 429–436.
  38. Manev M., Ivanova M. Canonical-type connection on almost contact manifolds with B-metric. Ann. Global Anal. Geom. 43 (4) (2013) 397–408.
  39. Manev M., Ivanova M. A classification of the torsion tensors on almost contact manifolds with B-metric. Cent. Eur. J. Math. 12 (10) (2014) 1416–1432.
  40. Manev M., Ivanova M. Natural connections with torsion expressed by the metric tensors on almost contact manifolds with B-metric. Plovdiv Univ. Sci. Works – Math. 38 (3) (2011) 47–58.