Теория систем массового обслуживания (СМО) начала развиваться в начале XX века. Основателем СМО можно считать математика Иохансена, сформулировавшего в 1907 году предпосылки новой теории. В 1909 году шведский математик Эрланг применил теорию вероятностей к исследованию зависимости обслуживания телефонных вызовов от числа поступающих на телефонную станцию вызовов. Классическая задача для многоканальной СМО с отказами названа в его честь. В СССР основы теории СМО закладывались А.А. Марковым (марковские цепи и потоки событий), А.Н. Колмогоровым (системы уравнений Колмогорова), А.Я. Хинчиным («Теория очередей») [1].
В апреле 1972 года в СССР в Центральном агентстве воздушных сообщений Московского авиационного узла была введена в эксплуатацию первая в стране, уникальная по тем временам автоматизированная система массового обслуживания «Сирена» — система управления процессом реализации мест на авиатранспорте[2]. С тех пор прошло много лет, сменилось несколько поколений технических средств и математического обеспечения, действуют десятки центров системы по всей стране и ближнему зарубежью, система взаимодействует с аналогичными системами дальнего зарубежья, намечаются пути дальнейшего усовершенствования и развития системы.
Когда разнообразные услуги начали активно продаваться, появились системы массового обслуживания. СМО — это система, которая производит массовое обслуживание поступающих в нее требований. Обслуживание производится рабочими единицами — каналами. По числу каналов СМО делятся на одноканальные и многоканальные. Системы также подразделяются на СМО с накопителем (очередью) и СМО с отказами. По числу мест в очереди выделяют СМО с ограниченным накопителем и СМО с неограниченным накопителем. На основе теории СМО строятся математические модели, по которым можно судить является ли данная система рентабельной или нет [3].
Обычно, чтобы удачно открыть свой бизнес по предоставлению услуг люди руководствуются двумя противоположными принципами: действовать по своей интуиции, внутреннему чутью, либо составлять расчеты. Идеальным вариантом последнего является математическая модель, где заранее просчитывается эффективность функционирования этого бизнеса.
Целью данной работы являлось рассмотрение эффективности работы малого предприятия, на примере автосервиса «Грандавто», находящегося в Самаре, по предоставленным данным в рамках теории СМО.
Для реализации намеченной цели требуется построить математическую модель СМО «Автосервис», произвести анализ полученных показателей эффективности и сделать заключение об эффективности работы СМО.
Данные, предоставленные автосервисом, следующие. Количество бригад, обслуживающих машины n, равняется 2. В день бывает около 6 машин. В рассматриваемый промежуток времени (конец ноября — начало декабря) самые распространенные обращения в автосервис по поводу проблем с зажиганием и заводом автомобиля. Среднее время ремонта, , составляет 120 минут заяв./час). На территории автосервиса имеется одно парковочное место (m=1). Время работы автосервиса с 8.00 до 20.00, то есть 12 часов, тогда интенсивность потока заявок λ составляет в среднем 0,5 машины в час.
Можно выделить три основных состояния СМО: S0 — система свободна, S1 — один канал занят, другой канал свободен, S2 — оба канала заняты, 1 место в очереди свободно, S3 (S2+1) — оба канала и одно место в очереди заняты. Размеченный граф состояний СМО изображен на рис.1.
Проведем расчет основных параметров двухканальной СМО с ограниченным накопителем [4]. Сначала выясним приведенную интенсивность работы бригад СМО: ; и вероятность простоя системы: . Найдем предельные вероятности трех различных состояний: ; ; . Далее определим вероятность отказа: ; и вероятность наличия очереди: . Относительная и абсолютная пропускная способность вычисляются соответственно: Q = 1 — Pотк = 1 — P3 = 10/11 ≈ 0,909; A = λQ = 0,5Q = 5/11 ≈ 0,45 (авт./час). Затем необходимо определить среднее число занятых бригад: . Определим относительное число занятых бригад: . Средняя длина очереди равна: ; в то время как среднее время ожидания в очереди: (часа). Вычислим среднее число требований в СМО и среднее время пребывания машины в СМО (часа).
По данным расчетов проведем анализ работы СМО. Вероятность простоя достаточно велика — около 36%, значит, можно говорить об экономической неэффективности содержания данного числа рабочих бригад. Однако, среднее относительное время пребывания СМО в состояниях P1, P2 пока больше (около 54% времени), чем в состоянии P0 (36% времени), то есть в среднем доля времени, приходящегося на работу бригад выше, чем доля времени, приходящегося на простой системы. Среднее относительное время пребывания СМО в состояниях P1, P2 больше (54%), чем в состоянии P3 (9%), то есть в среднем доля времени, приходящегося на работу бригад выше, чем доля времени, приходящегося на ожидание в очереди. Вероятность отказа невелика — 9%, то есть в среднем имеется лишь 9% упущенных заявок автовладельцев. Вероятность наличия очереди так же мала, и она составляет 9%. Относительная пропускная способность составляет около 91%, что означает среднюю долю обслуженных заявок. Абсолютная пропускная способность — примерно 1 машина в 2 часа. В среднем 1 бригада занята. Среднее время ожидания в очереди около 12 минут, что невелико по сравнению со временем обслуживания (2 часа). Среднее время пребывания в СМО около двух с небольшим часов.
Таким образом, можно сказать, что в целом СМО работает достаточно эффективно. Поток машин обслуживается почти полностью: лишь очень малый процент претерпевает отказ и может, покинув систему без обслуживания, образовать, так называемую, «упущенную выгоду». Система достаточно много простаивает. Малый процент машин попадает в очередь, среднее время ожидания в которой не велико по сравнению со средним временем обслуживания.
На данный период времени для уменьшения времени простоя системы при сохраняющейся интенсивности потока, в целях экономии средств, можно рекомендовать сокращение количества бригад. Если для автосервиса существенны расходы на содержание мест на парковке, можно порекомендовать убрать место.
Особенностью подобных моделей является то, что они описывают стационарную ситуацию, с постоянными параметрами. Чтобы модель более адекватно описывала реальную систему, можно приближенно считать ее стационарной на определенном промежутке времени. Тогда совокупность из всех возможных «кусочных» моделей будет задавать общую модель рассматриваемой системы.
Проанализируем ту же СМО, при других условиях, когда поток машин стал интенсивнее за счет внешних факторов (проблемы с дорожным покрытием, смена времен года и т.д.), и, согласно наблюдениям, количество машин может увеличиться с 6 до 15 за рабочий день. Тогда λ=1,25 авт./ч, μ=0,5 авт./ч. Измененный размеченный граф состояний изображен на рис.2.
Приведенная интенсивность работы каналов СМО , вероятность простоя системы . Найдем предельные вероятности трех состояний системы: ; ; . Рассчитаем относительную и абсолютную пропускную способности: Q = 1 — Pотк = 1 — P3 = 212/337 ≈ 0,629; A = λQ = 1,25Q = 530/337 ≈ 0,786(авт./час). Определяем среднее число занятых бригад: . Относительное число занятых бригад: . Средняя длина очереди равна: , затем вычисляем среднее время ожидания в очереди . Определяем среднее число требований в СМО: и среднее время пребывания машины в СМО: (часа).
По результатам расчетов можно прийти к выводам, что вероятность простоя системы значительно уменьшилась, теперь она составляет в среднем около 9%. Вероятность того, что появится очередь, возросла до 37%. Относительная пропускная способность всего около 63%, то есть около двух третей заявок будут обслужены. В течение дня примерно две бригады постоянно заняты (около 78% занятых каналов), а возможность образования очереди и время простоя в ней увеличилось до 63% и 28 минут соответственно. Машина в автосервисе находиться в среднем около двух с половиной часов.
Теперь бригады практически не простаивают, более того, заявок так много для данной системы, что около 37% из них покидают СМО необслуженными и образуют «упущенную выгоду». При сохраняющейся интенсивности потока машин, можно рекомендовать либо увеличение числа бригад, либо уменьшение времени ремонта машин (хотя это, возможно, отразится на качестве работы или на величине дохода, при увеличении стоимости ремонта). Таким образом, рекомендуется соответствующее увеличение интенсивности потоков обслуживания, либо, самое простое и недорогостоящее решение: создание дополнительных парковочных мест, если позволяет территория автосервиса.
В результате анализа двух рассмотренных ситуаций можно сделать вывод, что при столь сильно меняющейся интенсивности потока заявок (от 6 до 15 заявок в день), можно рекомендовать кроме дополнительных парковочных мест на случай увеличения интенсивности потока заявок, еще и динамическое, гибкое управление работой автосервиса. Например, сезонное увеличение количества бригад, или планирование и формирование потоков заявок и обслуживания. Дальнейшим направлением исследований может быть комплексный анализ функционирования системы, с большим числом рассматриваемых временных интервалов, различающихся по интенсивности потоков заявок и потоков обслуживания, с учетом стоимости ремонта и расходов на содержание бригад и парковочных мест. А также необходимо проведение анализа того, как соотносятся возможный доход и затраты на усовершенствование СМО, например, выгодно ли уменьшение времени ремонта машины при увеличении его стоимости.