Построение тренда изменения экономических показателей с помощью практического гармонического анализа

NovaInfo 8, скачать PDF
Опубликовано
Раздел: Экономические науки
Просмотров за месяц: 5
CC BY-NC

Аннотация

В нашу жизнь все активнее входят информационные технологии. Они оптимизируют работу, помогают выделить время для принятия необходимых управленческих решений. Именно экономия ресурсов сделала эту отрасль столь популярной сейчас. Для преподавателей и студентов экономических специальностей важно не только уметь использовать разнообразные современные средства технического анализа экономической и биржевой информации, но и понимать, на чем основана работа подобных программных средств. Освоение техники метода шаблонов практического гармонического анализа, в упрощенном виде с помощью программных средств офисного назначения, становится актуальным и наглядным способом решения данной задачи, а также дает результат в исследовании основной тенденции поведения определенных экономических показателей.

Ключевые слова

МЕТОД ШАБЛОНОВ ПРАКТИЧЕСКОГО ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА, АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ, ПОСТРОЕНИЕ ТРЕНДА, РЯД ФУРЬЕ

Текст научной работы

В нашу жизнь все активнее входят информационные технологии. Они оптимизируют работу, помогают выделить время для принятия необходимых управленческих решений. Именно экономия ресурсов сделала эту отрасль столь популярной сейчас. Для преподавателей и студентов экономических специальностей важно не только уметь использовать разнообразные современные средства технического анализа экономической и биржевой информации, но и понимать, на чем основана работа подобных программных средств. Освоение техники метода шаблонов практического гармонического анализа, в упрощенном виде с помощью программных средств офисного назначения, становится актуальным и наглядным способом решения данной задачи, а также дает результат в исследовании основной тенденции поведения определенных экономических показателей.

Обучение этой технике можно разделить на три основных этапа:

  1. Изучение теоретических основ метода шаблонов практического гармонического анализа;
  2. Работа с программными средствами офисного назначения (Microsoft Excel);
  3. Решение прикладной задачи на примере одной из мировых валют.

Теоретические основы метода шаблонов практического гармонического анализа

В экономическом анализе различных систем часто появляются функции, которые задаются не аналитически, а графически или таблично. Задача, возникающая перед исследователем, состоит в отыскании соответствующего аналитического выражения для функции. Для этой цели могут использоваться тригонометрические ряды, поскольку функция приближенно может быть выражена суммой конечного числа первых членов ее ряда Фурье.

Для нахождения коэффициентов ряда Фурье можно воспользоваться одним из способов приближенного вычисления интегралов, входящих в предмет практического гармонического анализа — так называемым методом шаблоновБермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов. М.:Наука, 1967. С. 719.. Он заключается в нахождении первых коэффициентов ФурьеПискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. 2. М.: Наука, 1972. С 342.

a_{k}=\frac{1}{l}\int_{0}^{2l}{f(x)cos\frac{k\pi x}{l}dx}, k = 0, 1, 2, 3, …

b_{k}=\frac{1}{l}\int_{0}^{2l}{f(x)sin\frac{k\pi x}{l}dx}, k = 1, 2, 3, …

с помощью формул численного интегрирования (например, формулы левых прямоугольниковБахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. С.86.):

x_{0}=0, x_{1}, x_{2}, x_{3}, …, x_{n-1}, x_{n}=2l, x_{i}=i\frac{2l}{n}, \Delta x=\frac{2l}{n}

a_{k}\approx \frac{2}{n}\sum_{i=0}^{n-1}{y_{i}\cos\frac{k\pi x_{i}}{l}}, \k = 0, 1, 2, 3, …

b_{k}\approx \frac{2}{n}\sum_{i=0}^{n-1}{y_{i}\sin\frac{k\pi x_{i}}{l}}, k = 1, 2, 3, …

и последующего определения функции в виде

f(x)\approx \frac{a_{0}}{2}+\left(\sum_{k=1}^{p}{a_{k}cos\frac{k\pi x}{l}} + b_{k}sin\frac{k\pi x}{l} \right), где p = 1, 2, 3

В вычислительном процессе используются шаблоны — определенные схемы вычислений, основанные на свойствах формул (2).

Ранее шаблоны понимались буквально: как таблицы, выполненные из прозрачного материала. Сегодня, когда компьютерные технологии стали доступным инструментом для решения вычислительных задач, предлагается использовать программную реализацию метода шаблонов на основе программы Microsoft Excel.

Рассмотрим упрощенный график изменения цен на международном финансовом рынкеБорискин В.В. Гармонический волновой анализ. М.: ДЦ «Альпари». URL: http:// forex-baza.com.. Проведем подготовку графика для определения аналитического выражения функции. Во-первых, осуществим параллельный перенос системы координат Oxy, так чтобы весь график был расположен над осью Ox и как можно ближе к ней (что скажется лишь на свободном члене в разложении Фурье). Во-вторых, выбираем масштаб так, чтобы ординаты на графике были выражены целыми числами. Далее, функцию y = f(x) задаем в интервале (0,2l), и по свойствам (2) выбираем l кратным 6, например, график отражает изменение цены в течение 12 часов, (l = 6), (2l = 12)(рис.1).

График функции <em>f(x)</em>
Рисунок 1. График функции f(x)

Интервал (0,2l) делим на n равных частей. Исходя из особенностей множителей \cos\frac{k\pi x_{i}}{l} и \sin\frac{k\pi x_{i}}{l}, обычно берут n равным 12, 24 или 48. Число увеличивают для большей точности, так как погрешность формулы левых прямоугольников — величина порядка Δx, D(f) = O(Δx). Возьмем n = 12.

Заполняем первые 4 столбца таблицы 1. В первом столбце перечисляются номера точек деления интервала (0,2l). Во втором — соответствующие этим точкам ординаты, снимаемые с графика. Легко видеть, что в формулах (2) каждое из 12 значений функции умножается лишь на одно из чисел:

\cos0=sin\frac{\pi}{2}=1, \cos\frac{\pi}{6}=sin\frac{\pi}{3}=0,87,

\cos\frac{\pi}{3}=sin\frac{\pi}{6}=0,5, \cos\frac{\pi}{2}=sin0=0,

взятых со знаком «+» или «–». Поэтому в третьем столбце указываются произведения соответствующих ординат на cos 30° = 0,87 в четвертом — произведения ординат на cos 60° = 0,5 кроме строк, отмеченных номерами 0, 3, 6, 9, клетки которых прочеркиваются, так как они соответствуют произведению ординат на косинусы дуг, кратных π или \frac{\pi}{2}.

Таблица 1. Расчетные данные
xiyiyiCos 30yi Cos 60aiЗнач ai
045,00

a0/2

42,17
150,0043,525

a1

-12,67
231,0026,9715,5

b1

3,428333
325,00

a2

17,91667
440,0034,820

b2

3,335
565,0056,5532,5
670,00
762,0053,9431
840,0034,820
923,00
1020,0017,410
1135,0030,4517,5
Схема расчета коэффициентов Фурье
Рисунок 2. Схема расчета коэффициентов Фурье

На рисунке 2 приведены примеры вычислительных шаблонов. Клетки шаблона, соответствующие положительным слагаемым в формуле (2), отмечены сплошной жирной линией, а клетки, соответствующие отрицательным слагаемым — пунктирной линией. Складывая отдельно первую и вторую группы чисел и вычитая из первой суммы вторую, разделим полученный результат на 6, таким образом, получатся коэффициенты a1, b1, a2, b2. Аналогичным образом можно определить коэффициенты a3, b3, a4, b4.

Согласно схеме, изображенной на рисунке 2, в ячейках таблицы 1 вычисления программируются так, что получается значения последнего столбца «Знач ai». Для определения коэффициента a0 шаблона не требуется, поскольку

a_{0}=\frac{1}{6}\sum_{i=0}^{11}{y_{i}}

Получаем приближенное выражение функции в виде тригонометрического многочлена второго порядка (3):

f(x)\approx 42,17-12,67\cos\frac{\pi x}{6}+3,42\sin\frac{\pi x}{6}+17,91\cos\frac{\pi x}{3}+3,33\sin\frac{\pi x}{3},

по другому обозначим

\tilde{f}(x)=42,17-12,67\cos\frac{\pi x}{6}+3,42\sin\frac{\pi x}{6}+17,91\cos\frac{\pi x}{3}+3,33\sin\frac{\pi x}{3}.

Построим график функции y=\tilde{f}(x), используя любой специальный математический пакет (см. рис. 3).

График функции <svg role=\tilde{f}(x)" src="/res/0twlqagdt7.jpg">
Рисунок 3. График функции

Общая погрешность при определении складывается из погрешности округления в вычислениях, погрешности формулы прямоугольников и погрешности, возникающей при отбрасывании остаточных слагаемых ряда Фурье. Однако, сравнительный анализ графиков показывает, что полученная функция y=\tilde{f}(x) аппроксимирует функцию y = f(x), а погрешность можно уменьшать, исходя из условий конкретной задачи.

Использование программы Microsoft Excel позволяет значительно упростить вычислительный процесс, находить большее число слагаемых в виде (3) и функцию y = f(x) с большей точностью.

Практическое применение метода шаблонов

Имеющиеся данные по изменению курса доллара по отношению к рублю за 2010 годКурсы валют ЦБ РФ. URL: http://www.all-currency.ru/ valute_pages_d_now.php?vcode=R01235&val=USD (дата обращения 7.12.2010). представлены в таблице 2.

Таблица 2. Изменению курса доллара по отношению к рублю за 2010 г
ДатаКурсДатаКурсДатаКурсДатаКурс
08.12.200929,5201.04.201029,495601.07.201031,255401.10.201030,51
09.12.200930,1802.04.201029,439402.07.201031,370302.10.201030,51
10.12.200930,7603.04.201029,219403.07.201031,194205.10.201030,50
11.12.200930,6306.04.201029,209706.07.201031,112406.10.201030,44
12.12.200930,2107.04.201029,241607.07.201031,112407.10.201029,89
15.12.200930,0508.04.201029,29408.07.201031,092208.10.201029,63
16.12.200930,0709.04.201029,400309.07.201030,947909.10.201029,91
17.12.200930,2010.04.201029,323210.07.201030,795312.10.201029,83
18.12.200930,4413.04.201028,942813.07.201030,882313.10.201030,08
19.12.200930,7214.04.201029,029414.07.201030,854314.10.201030,13
22.12.200930,5515.04.201029,044415.07.201030,53915.10.201029,93
23.12.200930,4416.04.201028,93116.07.201030,561916.10.201030,12
24.12.200930,5017.04.201029,032517.07.201030,461519.10.201030,52
25.12.200929,9320.04.201029,196920.07.201030,573920.10.201030,42
26.12.200929,4321.04.201029,138121.07.201030,405821.10.201030,80
29.12.200929,6022.04.201029,090622.07.201030,405922.10.201030,73
30.12.200929,8523.04.201029,128823.07.201030,520523.10.201030,50
31.12.200930,2424.04.201029,274324.07.201030,383926.10.201030,23
01.01.201030,1927.04.201029,088227.07.201030,300627.10.201040,30
12.01.201029,4328.04.201029,062328.07.201030,239128.10.201030,57
13.01.201029,3829.04.201029,380129.07.201030,206629.10.201030,68
14.01.201029,6430.04.201029,288630.07.201030,217330.10.201030,78
15.01.201029,4301.05.201029,153731.07.201030,186902.11.201030,7738
16.01.201029,5605.05.201029,298203.08.201030,186103.11.201030,7941
19.01.201029,6006.05.201029,681204.08.201029,968104.11.201030,7709
20.01.201029,5207.05.201030,297105.08.201029,795809.11.201030,8029
21.01.201029,6908.05.201030,719306.08.201029,863310.11.201030,8612
22.01.201029,7512.05.201030,360907.08.201029,831211.11.201030,6925
23.01.201029,7513.05.201030,204810.08.201029,818612.11.201030,5107
26.01.201030,0914.05.201029,859711.08.201030,023913.11.201030,7722
27.01.201030,3115.05.201030,057512.08.201030,20514.11.201030,8414
28.01.201030,2918.05.201030,698613.08.201030,449316.11.201030,8632
29.01.201030,3619.05.201030,394614.08.201030,419917.11.201031,056
30.01.201030,4320.05.201030,695317.08.201030,519918.11.201031,3487
02.02.201030,4021.05.201030,752318.08.201030,451419.11.201031,1999
03.02.201030,1822.05.201031,057619.08.201030,425720.11.201030,949
04.02.201029,8825.05.201030,875420.08.201030,463623.11.201030,995
05.02.201030,0126.05.201031,429321.08.201030,509924.11.201031,2642
06.02.201030,466627.05.201031,353824.08.201030,604125.11.201031,2929
09.02.201030,515828.05.201030,878625.08.201030,755926.11.201031,2842
10.02.201030,373529.05.201030,495626.08.201030,895827.11.201031,3539
11.02.201030,246201.06.201030,7427.08.201030,822730.11.201031,3061
12.02.201030,124502.06.201031,070228.08.201030,696901.12.201031,3335
13.02.201030,159503.06.201031,1931.08.201030,66402.12.201031,4555
16.02.201030,22104.06.201030,893801.09.201030,866903.12.201031,3518
17.02.201030,117605.06.201031,068502.09.201030,800104.12.201031,2641
18.02.201029,976108.06.201031,779803.09.201030,685807.12.201031,2867
19.02.201030,113809.06.201031,6204.09.201030,6922
20.02.201030,15110.06.201031,730207.09.201030,5771
25.02.201030,030911.06.201031,574208.09.201030,7319
26.02.201030,052112.06.201031,447109.09.201030,8873
27.02.201030,038816.06.201031,459510.09.201030,8801
28.02.201029,948417.06.201031,156611.09.201030,8937
02.03.201029,9318.06.201031,1854
03.03.201029,977919.06.201030,884
04.03.201029,81422.06.201030,7267
05.03.201029,821723.06.201030,896
06.03.201029,836624.06.201030,9694
10.03.201029,749925.06.201031,0149
11.03.201029,724926.06.201031,0761
12.03.201029,519529.06.201030,9833
13.03.201029,389730.06.201031,1954
16.03.201029,3353
17.03.201029,4242
18.03.201029,1927
19.03.201029,2223
20.03.201029,2565
23.03.201029,3389
24.03.201029,4707
25.03.201029,5764
26.03.201029,6572
27.03.201029,5142
30.03.201029,6309
31.03.201029,3638
Изменение курса доллара за год.
Рисунок 4. Изменение курса доллара за год

Методом простой средней посчитаем средние значения для каждого месяца и заполним таблицу 3.

Таблица 3. Средние значения курса доллара по месяцам
ДатаКурс
январь31,96
февраль31,83
март31,83
апрель31,04
май30,58
июнь32,13
июль32,73
август31,87
сентябрь19,09
октябрь32,24
ноябрь32,62
декабрь31,34

Для наглядности приведем график полученных значений на Рис.5.

Значения курса доллара по месяцам.
Рисунок 5. Значения курса доллара по месяцам

Согласно методу метода шаблонов практического гармонического анализа, расширим табл. 3 до табл.4, дополнив ее необходимыми значениями, при этом используем Excel.

Таблица 4. Расчетные данные
xiyiyi cos30yi cos60aiЗнач ai
031,96--a0/231,87083
131,8327,565615,915a1-0,12
231,8327,565615,915b1-0,50
331,04--a20,22
430,5826,483115,29b20,19
532,1327,825416,065
632,73--
731,8727,600215,935
832,2827,955316,14
932,24--
1032,6228,249716,31
1131,3427,141215,67

Используя любой математический пакет, построим график функции, отражающей тенденцию изменения курса (Рис. 6).

Итоговый график тенденции.
Рисунок 6. Итоговый график тенденции

Таким образом, используя простейший вариант метода шаблонов практического гармонического анализа, мы построили график функции, который показывает тенденцию изменения валютного курса. Использование компьютерных технологий позволило значительно упростить решение поставленной задачи, что дает возможность выполнять расчеты с еще меньшей погрешностью, чем в приведенном случае, за счет выбора более точной формулы численного метода (взамен формулы прямоугольников) и увеличения числа слагаемых ряда Фурье. Что, безусловно, приведет к уменьшению наглядности указанного метода решения представленной задачи. Поэтому на этапе обучения показанная в данной статье реализация метода практического гармонического анализа нам представляется исключительно полезной.

Читайте также

Список литературы

  1. Зайчикова Н. А. О реализации метода шаблонов практического гармонического анализа// Шихобаловские чтения: Опыт, проблемы и перспективы развития потребительского рынка: материалы Междунар. Науч.-практ. Конф., 18-19 нояб. 2009 г. В 2-х ч. – Самара: Самарский институт (филиал) РГТЭУ, 2009. - №Ч.2.
  2. Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа для втузов/ Бермант А.Ф., Араманович И.Г. – М.: Наука, 1967. – 736 с.
  3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов: в 2 т. – М.: Наука, 1972. – Т. 2. – 576 с.
  4. Бахвалов Н.С. Численные методы: учеб. пособие для вузов / Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. – М.: Наука, 1987. – 630 с.
  5. Борискин В.В. Гармонический волновой анализ. – М.: ДЦ «Альпари». URL: http:// forex-baza.com. (дата обращения 9.06.2009).
  6. Курсы валют ЦБ РФ. URL: http://www.all-currency.ru/valute_pages_d_now.php?vcode=R01235&val=USD (дата обращения 7.12.2010).

Цитировать

Воробьёва, М.В. Построение тренда изменения экономических показателей с помощью практического гармонического анализа / М.В. Воробьёва, Н.А. Зайчикова. — Текст : электронный // NovaInfo, 2012. — № 8. — URL: https://novainfo.ru/article/1459 (дата обращения: 05.10.2022).

Поделиться