Построение тренда изменения экономических показателей с помощью практического гармонического анализа

В нашу жизнь все активнее входят информационные технологии. Они оптимизируют работу, помогают выделить время для принятия необходимых управленческих решений. Именно экономия ресурсов сделала эту отрасль столь популярной сейчас. Для преподавателей и студентов экономических специальностей важно не только уметь использовать разнообразные современные средства технического анализа экономической и биржевой информации, но и понимать, на чем основана работа подобных программных средств. Освоение техники метода шаблонов практического гармонического анализа, в упрощенном виде с помощью программных средств офисного назначения, становится актуальным и наглядным способом решения данной задачи, а также дает результат в исследовании основной тенденции поведения определенных экономических показателей.

Обучение этой технике можно разделить на три основных этапа:

1. изучение теоретических основ метода шаблонов практического гармонического анализа;
2. работа с программными средствами офисного назначения (Microsoft Excel);
3. решение прикладной задачи на примере одной из мировых валют.

Теоретические основы метода шаблонов практического гармонического анализа

В экономическом анализе различных систем часто появляются функции, которые задаются не аналитически, а графически или таблично. Задача, возникающая перед исследователем, состоит в отыскании соответствующего аналитического выражения для функции. Для этой цели могут использоваться тригонометрические ряды, поскольку функция приближенно может быть выражена суммой конечного числа первых членов ее ряда Фурье.

Для нахождения коэффициентов ряда Фурье можно воспользоваться одним из способов приближенного вычисления интегралов, входящих в предмет практического гармонического анализа – так называемым методом шаблоновБермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов. М.:Наука, 1967. С. 719.. Он заключается в нахождении первых коэффициентов ФурьеПискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. 2. М.: Наука, 1972. С 342.

, k = 0, 1, 2, 3, ...

, k = 1, 2, 3, ...

с помощью формул численного интегрирования (например, формулы левых прямоугольниковБахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. С.86.):

, , 

, \k = 0, 1, 2, 3, ...

, k = 1, 2, 3, ...

и последующего определения функции в виде

, где p = 1, 2, 3

В вычислительном процессе используются шаблоны – определенные схемы вычислений, основанные на свойствах формул (2).

Ранее шаблоны понимались буквально: как таблицы, выполненные из прозрачного материала. Сегодня, когда компьютерные технологии стали доступным инструментом для решения вычислительных задач, предлагается использовать программную реализацию метода шаблонов на основе программы Microsoft Excel.

Рассмотрим упрощенный график изменения цен на международном финансовом рынкеБорискин В.В. Гармонический волновой анализ. М.: ДЦ «Альпари». URL: http:// forex-baza.com.. Проведем подготовку графика для определения аналитического выражения функции. Во-первых, осуществим параллельный перенос системы координат Oxy, так чтобы весь график был расположен над осью Ox и как можно ближе к ней (что скажется лишь на свободном члене в разложении Фурье). Во-вторых, выбираем масштаб так, чтобы ординаты на графике были выражены целыми числами. Далее, функцию y = f(x) задаем в интервале (0,2l), и по свойствам (2) выбираем l кратным 6, например, график отражает изменение цены в течение 12 часов, (l = 6), (2l = 12)(рис.1).

Рис. 1. График функции f(x)

Интервал (0,2l) делим на n равных частей. Исходя из особенностей множителей и , обычно берут n равным 12, 24 или 48. Число увеличивают для большей точности, так как погрешность формулы левых прямоугольников – величина порядка Δx, D(f) = O(Δx). Возьмем n = 12.

Заполняем первые 4 столбца таблицы 1. В первом столбце перечисляются номера точек деления интервала (0,2l). Во втором – соответствующие этим точкам ординаты, снимаемые с графика. Легко видеть, что в формулах (2) каждое из 12 значений функции умножается лишь на одно из чисел:

, ,

, ,

взятых со знаком «+» или «–». Поэтому в третьем столбце указываются произведения соответствующих ординат на cos 30° = 0,87 в четвертом – произведения ординат на cos 60° = 0,5 кроме строк, отмеченных номерами 0, 3, 6, 9, клетки которых прочеркиваются, так как они соответствуют произведению ординат на косинусы дуг, кратных π или .

Таблица 1. Расчетные данные

Рис.2. Схема расчета коэффициентов Фурье

На рисунке 2 приведены примеры вычислительных шаблонов. Клетки шаблона, соответствующие положительным слагаемым в формуле (2), отмечены сплошной жирной линией, а клетки, соответствующие отрицательным слагаемым – пунктирной линией. Складывая отдельно первую и вторую группы чисел и вычитая из первой суммы вторую, разделим полученный результат на 6, таким образом, получатся коэффициенты a₁, b₁, a₂, b₂. Аналогичным образом можно определить коэффициенты a₃, b₃, a₄, b₄.

Согласно схеме, изображенной на рисунке 2, в ячейках таблицы 1 вычисления программируются так, что получается значения последнего столбца «Знач a_i». Для определения коэффициента a₀ шаблона не требуется, поскольку

Получаем приближенное выражение функции в виде тригонометрического многочлена второго порядка (3):

,

по другому обозначим

.

Построим график функции , используя любой специальный математический пакет (см. рис. 3).

Рис. 3. График функции

Общая погрешность при определении складывается из погрешности округления в вычислениях, погрешности формулы прямоугольников и погрешности, возникающей при отбрасывании остаточных слагаемых ряда Фурье. Однако, сравнительный анализ графиков показывает, что полученная функция аппроксимирует функцию y = f(x), а погрешность можно уменьшать, исходя из условий конкретной задачи.

Использование программы Microsoft Excel позволяет значительно упростить вычислительный процесс, находить большее число слагаемых в виде (3) и функцию y = f(x) с большей точностью.

Практическое применение метода шаблонов

Имеющиеся данные по изменению курса доллара по отношению к рублю за 2010 годКурсы валют ЦБ РФ. URL: http://www.all-currency.ru/ valute_pages_d_now.php?vcode=R01235&val=USD (дата обращения 7.12.2010). представлены в таблице 2.

Таблица 2. изменению курса доллара по отношению к рублю за 2010 г.

Рисунок 4. Изменение курса доллара за год.

Методом простой средней посчитаем средние значения для каждого месяца и заполним таблицу 3.

Таблица 3. средние значения курса доллара по месяцам

Для наглядности приведем график полученных значений на Рис.5.

Рисунок 5. Значения курса доллара по месяцам.

Согласно методу метода шаблонов практического гармонического анализа, расширим табл. 3 до табл.4, дополнив ее необходимыми значениями, при этом используем Excel.

Таблица 4. Расчетные данные

Используя любой математический пакет, построим график функции, отражающей тенденцию изменения курса (Рис. 6).

Рисунок 6. Итоговый график тенденции.

Таким образом, используя простейший вариант метода шаблонов практического гармонического анализа, мы построили график функции, который показывает тенденцию изменения валютного курса. Использование компьютерных технологий позволило значительно упростить решение поставленной задачи, что дает возможность выполнять расчеты с еще меньшей погрешностью, чем в приведенном случае, за счет выбора более точной формулы численного метода (взамен формулы прямоугольников) и увеличения числа слагаемых ряда Фурье. Что, безусловно, приведет к уменьшению наглядности указанного метода решения представленной задачи. Поэтому на этапе обучения показанная в данной статье реализация метода практического гармонического анализа нам представляется исключительно полезной.