Построение тренда изменения экономических показателей с помощью практического гармонического анализа

№8-1,

экономические науки

В нашу жизнь все активнее входят информационные технологии. Они оптимизируют работу, помогают выделить время для принятия необходимых управленческих решений. Именно экономия ресурсов сделала эту отрасль столь популярной сейчас. Для преподавателей и студентов экономических специальностей важно не только уметь использовать разнообразные современные средства технического анализа экономической и биржевой информации, но и понимать, на чем основана работа подобных программных средств. Освоение техники метода шаблонов практического гармонического анализа, в упрощенном виде с помощью программных средств офисного назначения, становится актуальным и наглядным способом решения данной задачи, а также дает результат в исследовании основной тенденции поведения определенных экономических показателей.

Похожие материалы

В нашу жизнь все активнее входят информационные технологии. Они оптимизируют работу, помогают выделить время для принятия необходимых управленческих решений. Именно экономия ресурсов сделала эту отрасль столь популярной сейчас. Для преподавателей и студентов экономических специальностей важно не только уметь использовать разнообразные современные средства технического анализа экономической и биржевой информации, но и понимать, на чем основана работа подобных программных средств. Освоение техники метода шаблонов практического гармонического анализа, в упрощенном виде с помощью программных средств офисного назначения, становится актуальным и наглядным способом решения данной задачи, а также дает результат в исследовании основной тенденции поведения определенных экономических показателей.

Обучение этой технике можно разделить на три основных этапа:

  1. изучение теоретических основ метода шаблонов практического гармонического анализа;
  2. работа с программными средствами офисного назначения (Microsoft Excel);
  3. решение прикладной задачи на примере одной из мировых валют.

Теоретические основы метода шаблонов практического гармонического анализа

В экономическом анализе различных систем часто появляются функции, которые задаются не аналитически, а графически или таблично. Задача, возникающая перед исследователем, состоит в отыскании соответствующего аналитического выражения для функции. Для этой цели могут использоваться тригонометрические ряды, поскольку функция приближенно может быть выражена суммой конечного числа первых членов ее ряда Фурье.

Для нахождения коэффициентов ряда Фурье можно воспользоваться одним из способов приближенного вычисления интегралов, входящих в предмет практического гармонического анализа – так называемым методом шаблоновБермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов. М.:Наука, 1967. С. 719.. Он заключается в нахождении первых коэффициентов ФурьеПискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. 2. М.: Наука, 1972. С 342.

a_{k}=\frac{1}{l}\int_{0}^{2l}{f(x)cos\frac{k\pi x}{l}dx}, k = 0, 1, 2, 3, ...

b_{k}=\frac{1}{l}\int_{0}^{2l}{f(x)sin\frac{k\pi x}{l}dx}, k = 1, 2, 3, ...

с помощью формул численного интегрирования (например, формулы левых прямоугольниковБахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. С.86.):

x_{0}=0, x_{1}, x_{2}, x_{3}, ... , x_{n-1}, x_{n}=2l, x_{i}=i\frac{2l}{n}, \Delta x=\frac{2l}{n}

a_{k}\approx \frac{2}{n}\sum_{i=0}^{n-1}{y_{i}\cos\frac{k\pi x_{i}}{l}}, \k = 0, 1, 2, 3, ...

b_{k}\approx \frac{2}{n}\sum_{i=0}^{n-1}{y_{i}\sin\frac{k\pi x_{i}}{l}}, k = 1, 2, 3, ...

и последующего определения функции в виде

f(x)\approx \frac{a_{0}}{2}+\left( \sum_{k=1}^{p}{a_{k}cos\frac{k\pi x}{l}} + b_{k}sin\frac{k\pi x}{l} \right), где p = 1, 2, 3

В вычислительном процессе используются шаблоны – определенные схемы вычислений, основанные на свойствах формул (2).

Ранее шаблоны понимались буквально: как таблицы, выполненные из прозрачного материала. Сегодня, когда компьютерные технологии стали доступным инструментом для решения вычислительных задач, предлагается использовать программную реализацию метода шаблонов на основе программы Microsoft Excel.

Рассмотрим упрощенный график изменения цен на международном финансовом рынкеБорискин В.В. Гармонический волновой анализ. М.: ДЦ «Альпари». URL: http:// forex-baza.com.. Проведем подготовку графика для определения аналитического выражения функции. Во-первых, осуществим параллельный перенос системы координат Oxy, так чтобы весь график был расположен над осью Ox и как можно ближе к ней (что скажется лишь на свободном члене в разложении Фурье). Во-вторых, выбираем масштаб так, чтобы ординаты на графике были выражены целыми числами. Далее, функцию y = f(x) задаем в интервале (0,2l), и по свойствам (2) выбираем l кратным 6, например, график отражает изменение цены в течение 12 часов, (l = 6), (2l = 12)(рис.1).

Рис. 1. График функции f(x)

Рис. 1. График функции f(x)

Интервал (0,2l) делим на n равных частей. Исходя из особенностей множителей \cos\frac{k\pi x_{i}}{l} и \sin\frac{k\pi x_{i}}{l}, обычно берут n равным 12, 24 или 48. Число увеличивают для большей точности, так как погрешность формулы левых прямоугольников – величина порядка Δx, D(f) = O(Δx). Возьмем n = 12.

Заполняем первые 4 столбца таблицы 1. В первом столбце перечисляются номера точек деления интервала (0,2l). Во втором – соответствующие этим точкам ординаты, снимаемые с графика. Легко видеть, что в формулах (2) каждое из 12 значений функции умножается лишь на одно из чисел:

\cos0=sin\frac{\pi}{2}=1, \cos\frac{\pi}{6}=sin\frac{\pi}{3}=0,87,

\cos\frac{\pi}{3}=sin\frac{\pi}{6}=0,5, \cos\frac{\pi}{2}=sin0=0,

взятых со знаком «+» или «–». Поэтому в третьем столбце указываются произведения соответствующих ординат на cos 30° = 0,87 в четвертом – произведения ординат на cos 60° = 0,5 кроме строк, отмеченных номерами 0, 3, 6, 9, клетки которых прочеркиваются, так как они соответствуют произведению ординат на косинусы дуг, кратных π или \frac{\pi}{2}.

Таблица 1. Расчетные данные

xi yi yiCos 30 yi Cos 60 ai Знач ai
0 45,00

a0/2

42,17
1 50,00 43,5 25

a1

-12,67
2 31,00 26,97 15,5

b1

3,428333
3 25,00

a2

17,91667
4 40,00 34,8 20

b2

3,335
5 65,00 56,55 32,5    
6 70,00    
7 62,00 53,94 31    
8 40,00 34,8 20    
9 23,00    
10 20,00 17,4 10    
11 35,00 30,45 17,5    

Рис.2. Схема расчета коэффициентов Фурье

Рис.2. Схема расчета коэффициентов Фурье

На рисунке 2 приведены примеры вычислительных шаблонов. Клетки шаблона, соответствующие положительным слагаемым в формуле (2), отмечены сплошной жирной линией, а клетки, соответствующие отрицательным слагаемым – пунктирной линией. Складывая отдельно первую и вторую группы чисел и вычитая из первой суммы вторую, разделим полученный результат на 6, таким образом, получатся коэффициенты a1, b1, a2, b2. Аналогичным образом можно определить коэффициенты a3, b3, a4, b4.

Согласно схеме, изображенной на рисунке 2, в ячейках таблицы 1 вычисления программируются так, что получается значения последнего столбца «Знач ai». Для определения коэффициента a0 шаблона не требуется, поскольку

a_{0}=\frac{1}{6}\sum_{i=0}^{11}{y_{i}}

Получаем приближенное выражение функции в виде тригонометрического многочлена второго порядка (3):

f(x)\approx 42,17-12,67\cos\frac{\pi x}{6}+3,42\sin\frac{\pi x}{6}+17,91\cos\frac{\pi x}{3}+3,33\sin\frac{\pi x}{3},

по другому обозначим

\tilde{f}(x)=42,17-12,67\cos\frac{\pi x}{6}+3,42\sin\frac{\pi x}{6}+17,91\cos\frac{\pi x}{3}+3,33\sin\frac{\pi x}{3}.

Построим график функции y=\tilde{f}(x), используя любой специальный математический пакет (см. рис. 3).

Рис. 3. График функции f(x)

Рис. 3. График функции \tilde{f}(x)

Общая погрешность при определении складывается из погрешности округления в вычислениях, погрешности формулы прямоугольников и погрешности, возникающей при отбрасывании остаточных слагаемых ряда Фурье. Однако, сравнительный анализ графиков показывает, что полученная функция y=\tilde{f}(x) аппроксимирует функцию y = f(x), а погрешность можно уменьшать, исходя из условий конкретной задачи.

Использование программы Microsoft Excel позволяет значительно упростить вычислительный процесс, находить большее число слагаемых в виде (3) и функцию y = f(x) с большей точностью.

Практическое применение метода шаблонов

Имеющиеся данные по изменению курса доллара по отношению к рублю за 2010 годКурсы валют ЦБ РФ. URL: http://www.all-currency.ru/ valute_pages_d_now.php?vcode=R01235&val=USD (дата обращения 7.12.2010). представлены в таблице 2.

Таблица 2. изменению курса доллара по отношению к рублю за 2010 г.

Дата Курс Дата Курс Дата Курс Дата Курс
08.12.2009 29,52 01.04.2010 29,4956 01.07.2010 31,2554 01.10.2010 30,51
09.12.2009 30,18 02.04.2010 29,4394 02.07.2010 31,3703 02.10.2010 30,51
10.12.2009 30,76 03.04.2010 29,2194 03.07.2010 31,1942 05.10.2010 30,50
11.12.2009 30,63 06.04.2010 29,2097 06.07.2010 31,1124 06.10.2010 30,44
12.12.2009 30,21 07.04.2010 29,2416 07.07.2010 31,1124 07.10.2010 29,89
15.12.2009 30,05 08.04.2010 29,294 08.07.2010 31,0922 08.10.2010 29,63
16.12.2009 30,07 09.04.2010 29,4003 09.07.2010 30,9479 09.10.2010 29,91
17.12.2009 30,20 10.04.2010 29,3232 10.07.2010 30,7953 12.10.2010 29,83
18.12.2009 30,44 13.04.2010 28,9428 13.07.2010 30,8823 13.10.2010 30,08
19.12.2009 30,72 14.04.2010 29,0294 14.07.2010 30,8543 14.10.2010 30,13
22.12.2009 30,55 15.04.2010 29,0444 15.07.2010 30,539 15.10.2010 29,93
23.12.2009 30,44 16.04.2010 28,931 16.07.2010 30,5619 16.10.2010 30,12
24.12.2009 30,50 17.04.2010 29,0325 17.07.2010 30,4615 19.10.2010 30,52
25.12.2009 29,93 20.04.2010 29,1969 20.07.2010 30,5739 20.10.2010 30,42
26.12.2009 29,43 21.04.2010 29,1381 21.07.2010 30,4058 21.10.2010 30,80
29.12.2009 29,60 22.04.2010 29,0906 22.07.2010 30,4059 22.10.2010 30,73
30.12.2009 29,85 23.04.2010 29,1288 23.07.2010 30,5205 23.10.2010 30,50
31.12.2009 30,24 24.04.2010 29,2743 24.07.2010 30,3839 26.10.2010 30,23
01.01.2010 30,19 27.04.2010 29,0882 27.07.2010 30,3006 27.10.2010 40,30
12.01.2010 29,43 28.04.2010 29,0623 28.07.2010 30,2391 28.10.2010 30,57
13.01.2010 29,38 29.04.2010 29,3801 29.07.2010 30,2066 29.10.2010 30,68
14.01.2010 29,64 30.04.2010 29,2886 30.07.2010 30,2173 30.10.2010 30,78
15.01.2010 29,43 01.05.2010 29,1537 31.07.2010 30,1869 02.11.2010 30,7738
16.01.2010 29,56 05.05.2010 29,2982 03.08.2010 30,1861 03.11.2010 30,7941
19.01.2010 29,60 06.05.2010 29,6812 04.08.2010 29,9681 04.11.2010 30,7709
20.01.2010 29,52 07.05.2010 30,2971 05.08.2010 29,7958 09.11.2010 30,8029
21.01.2010 29,69 08.05.2010 30,7193 06.08.2010 29,8633 10.11.2010 30,8612
22.01.2010 29,75 12.05.2010 30,3609 07.08.2010 29,8312 11.11.2010 30,6925
23.01.2010 29,75 13.05.2010 30,2048 10.08.2010 29,8186 12.11.2010 30,5107
26.01.2010 30,09 14.05.2010 29,8597 11.08.2010 30,0239 13.11.2010 30,7722
27.01.2010 30,31 15.05.2010 30,0575 12.08.2010 30,205 14.11.2010 30,8414
28.01.2010 30,29 18.05.2010 30,6986 13.08.2010 30,4493 16.11.2010 30,8632
29.01.2010 30,36 19.05.2010 30,3946 14.08.2010 30,4199 17.11.2010 31,056
30.01.2010 30,43 20.05.2010 30,6953 17.08.2010 30,5199 18.11.2010 31,3487
02.02.2010 30,40 21.05.2010 30,7523 18.08.2010 30,4514 19.11.2010 31,1999
03.02.2010 30,18 22.05.2010 31,0576 19.08.2010 30,4257 20.11.2010 30,949
04.02.2010 29,88 25.05.2010 30,8754 20.08.2010 30,4636 23.11.2010 30,995
05.02.2010 30,01 26.05.2010 31,4293 21.08.2010 30,5099 24.11.2010 31,2642
06.02.2010 30,4666 27.05.2010 31,3538 24.08.2010 30,6041 25.11.2010 31,2929
09.02.2010 30,5158 28.05.2010 30,8786 25.08.2010 30,7559 26.11.2010 31,2842
10.02.2010 30,3735 29.05.2010 30,4956 26.08.2010 30,8958 27.11.2010 31,3539
11.02.2010 30,2462 01.06.2010 30,74 27.08.2010 30,8227 30.11.2010 31,3061
12.02.2010 30,1245 02.06.2010 31,0702 28.08.2010 30,6969 01.12.2010 31,3335
13.02.2010 30,1595 03.06.2010 31,19 31.08.2010 30,664 02.12.2010 31,4555
16.02.2010 30,221 04.06.2010 30,8938 01.09.2010 30,8669 03.12.2010 31,3518
17.02.2010 30,1176 05.06.2010 31,0685 02.09.2010 30,8001 04.12.2010 31,2641
18.02.2010 29,9761 08.06.2010 31,7798 03.09.2010 30,6858 07.12.2010 31,2867
19.02.2010 30,1138 09.06.2010 31,62 04.09.2010 30,6922    
20.02.2010 30,151 10.06.2010 31,7302 07.09.2010 30,5771    
25.02.2010 30,0309 11.06.2010 31,5742 08.09.2010 30,7319    
26.02.2010 30,0521 12.06.2010 31,4471 09.09.2010 30,8873    
27.02.2010 30,0388 16.06.2010 31,4595 10.09.2010 30,8801    
28.02.2010 29,9484 17.06.2010 31,1566 11.09.2010 30,8937    
02.03.2010 29,93 18.06.2010 31,1854        
03.03.2010 29,9779 19.06.2010 30,884        
04.03.2010 29,814 22.06.2010 30,7267        
05.03.2010 29,8217 23.06.2010 30,896        
06.03.2010 29,8366 24.06.2010 30,9694        
10.03.2010 29,7499 25.06.2010 31,0149        
11.03.2010 29,7249 26.06.2010 31,0761        
12.03.2010 29,5195 29.06.2010 30,9833        
13.03.2010 29,3897 30.06.2010 31,1954        
16.03.2010 29,3353            
17.03.2010 29,4242            
18.03.2010 29,1927            
19.03.2010 29,2223            
20.03.2010 29,2565            
23.03.2010 29,3389            
24.03.2010 29,4707            
25.03.2010 29,5764            
26.03.2010 29,6572            
27.03.2010 29,5142            
30.03.2010 29,6309            
31.03.2010 29,3638            

Рисунок 4. Изменение курса доллара за год.

Рисунок 4. Изменение курса доллара за год.

Методом простой средней посчитаем средние значения для каждого месяца и заполним таблицу 3.

Таблица 3. средние значения курса доллара по месяцам

Дата Курс
январь 31,96
февраль 31,83
март 31,83
апрель 31,04
май 30,58
июнь 32,13
июль 32,73
август 31,87
сентябрь 19,09
октябрь 32,24
ноябрь 32,62
декабрь 31,34

Для наглядности приведем график полученных значений на Рис.5.

Рисунок 5. Значения курса доллара по месяцам.

Рисунок 5. Значения курса доллара по месяцам.

Согласно методу метода шаблонов практического гармонического анализа, расширим табл. 3 до табл.4, дополнив ее необходимыми значениями, при этом используем Excel.

Таблица 4. Расчетные данные

xi yi yi cos30 yi cos60 ai Знач ai
0 31,96 - - a0/2 31,87083
1 31,83 27,5656 15,915 a1 -0,12
2 31,83 27,5656 15,915 b1 -0,50
3 31,04 - - a2 0,22
4 30,58 26,4831 15,29 b2 0,19
5 32,13 27,8254 16,065    
6 32,73 - -    
7 31,87 27,6002 15,935    
8 32,28 27,9553 16,14    
9 32,24 - -    
10 32,62 28,2497 16,31    
11 31,34 27,1412 15,67    

Используя любой математический пакет, построим график функции, отражающей тенденцию изменения курса (Рис. 6).

Рисунок 6. Итоговый график тенденции.

Рисунок 6. Итоговый график тенденции.

 

Таким образом, используя простейший вариант метода шаблонов практического гармонического анализа, мы построили график функции, который показывает тенденцию изменения валютного курса. Использование компьютерных технологий позволило значительно упростить решение поставленной задачи, что дает возможность выполнять расчеты с еще меньшей погрешностью, чем в приведенном случае, за счет выбора более точной формулы численного метода (взамен формулы прямоугольников) и увеличения числа слагаемых ряда Фурье. Что, безусловно, приведет к уменьшению наглядности указанного метода решения представленной задачи. Поэтому на этапе обучения показанная в данной статье реализация метода практического гармонического анализа нам представляется исключительно полезной.

Список литературы

  1. Зайчикова Н. А. О реализации метода шаблонов практического гармонического анализа// Шихобаловские чтения: Опыт, проблемы и перспективы развития потребительского рынка: материалы Междунар. Науч.-практ. Конф., 18-19 нояб. 2009 г. В 2-х ч. – Самара: Самарский институт (филиал) РГТЭУ, 2009. - №Ч.2.
  2. Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа для втузов/ Бермант А.Ф., Араманович И.Г. – М.: Наука, 1967. – 736 с.
  3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов: в 2 т. – М.: Наука, 1972. – Т. 2. – 576 с.
  4. Бахвалов Н.С. Численные методы: учеб. пособие для вузов / Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. – М.: Наука, 1987. – 630 с.
  5. Борискин В.В. Гармонический волновой анализ. – М.: ДЦ «Альпари». URL: http:// forex-baza.com. (дата обращения 9.06.2009).
  6. Курсы валют ЦБ РФ. URL: http://www.all-currency.ru/valute_pages_d_now.php?vcode=R01235&val=USD (дата обращения 7.12.2010).