В нашу жизнь все активнее входят информационные технологии. Они оптимизируют работу, помогают выделить время для принятия необходимых управленческих решений. Именно экономия ресурсов сделала эту отрасль столь популярной сейчас. Для преподавателей и студентов экономических специальностей важно не только уметь использовать разнообразные современные средства технического анализа экономической и биржевой информации, но и понимать, на чем основана работа подобных программных средств. Освоение техники метода шаблонов практического гармонического анализа, в упрощенном виде с помощью программных средств офисного назначения, становится актуальным и наглядным способом решения данной задачи, а также дает результат в исследовании основной тенденции поведения определенных экономических показателей.
Обучение этой технике можно разделить на три основных этапа:
- Изучение теоретических основ метода шаблонов практического гармонического анализа;
- Работа с программными средствами офисного назначения (Microsoft Excel);
- Решение прикладной задачи на примере одной из мировых валют.
Теоретические основы метода шаблонов практического гармонического анализа
В экономическом анализе различных систем часто появляются функции, которые задаются не аналитически, а графически или таблично. Задача, возникающая перед исследователем, состоит в отыскании соответствующего аналитического выражения для функции. Для этой цели могут использоваться тригонометрические ряды, поскольку функция приближенно может быть выражена суммой конечного числа первых членов ее ряда Фурье.
Для нахождения коэффициентов ряда Фурье можно воспользоваться одним из способов приближенного вычисления интегралов, входящих в предмет практического гармонического анализа — так называемым методом шаблонов
, k = 0, 1, 2, 3, …
, k = 1, 2, 3, …
с помощью формул численного интегрирования (например, формулы левых прямоугольников
, ,
, \k = 0, 1, 2, 3, …
, k = 1, 2, 3, …
и последующего определения функции в виде
, где p = 1, 2, 3
В вычислительном процессе используются шаблоны — определенные схемы вычислений, основанные на свойствах формул (2).
Ранее шаблоны понимались буквально: как таблицы, выполненные из прозрачного материала. Сегодня, когда компьютерные технологии стали доступным инструментом для решения вычислительных задач, предлагается использовать программную реализацию метода шаблонов на основе программы Microsoft Excel.
Рассмотрим упрощенный график изменения цен на международном финансовом рынке

Интервал (0,2l) делим на n равных частей. Исходя из особенностей множителей и , обычно берут n равным 12, 24 или 48. Число увеличивают для большей точности, так как погрешность формулы левых прямоугольников — величина порядка Δx, D(f) = O(Δx). Возьмем n = 12.
Заполняем первые 4 столбца таблицы 1. В первом столбце перечисляются номера точек деления интервала (0,2l). Во втором — соответствующие этим точкам ординаты, снимаемые с графика. Легко видеть, что в формулах (2) каждое из 12 значений функции умножается лишь на одно из чисел:
, ,
, ,
взятых со знаком «+» или «–». Поэтому в третьем столбце указываются произведения соответствующих ординат на cos 30° = 0,87 в четвертом — произведения ординат на cos 60° = 0,5 кроме строк, отмеченных номерами 0, 3, 6, 9, клетки которых прочеркиваются, так как они соответствуют произведению ординат на косинусы дуг, кратных π или .
xi | yi | yiCos 30 | yi Cos 60 | ai | Знач ai |
0 | 45,00 | – | – | a0/2 | 42,17 |
1 | 50,00 | 43,5 | 25 | a1 | -12,67 |
2 | 31,00 | 26,97 | 15,5 | b1 | 3,428333 |
3 | 25,00 | – | – | a2 | 17,91667 |
4 | 40,00 | 34,8 | 20 | b2 | 3,335 |
5 | 65,00 | 56,55 | 32,5 | ||
6 | 70,00 | – | – | ||
7 | 62,00 | 53,94 | 31 | ||
8 | 40,00 | 34,8 | 20 | ||
9 | 23,00 | – | – | ||
10 | 20,00 | 17,4 | 10 | ||
11 | 35,00 | 30,45 | 17,5 |

На рисунке 2 приведены примеры вычислительных шаблонов. Клетки шаблона, соответствующие положительным слагаемым в формуле (2), отмечены сплошной жирной линией, а клетки, соответствующие отрицательным слагаемым — пунктирной линией. Складывая отдельно первую и вторую группы чисел и вычитая из первой суммы вторую, разделим полученный результат на 6, таким образом, получатся коэффициенты a1, b1, a2, b2. Аналогичным образом можно определить коэффициенты a3, b3, a4, b4.
Согласно схеме, изображенной на рисунке 2, в ячейках таблицы 1 вычисления программируются так, что получается значения последнего столбца «Знач ai». Для определения коэффициента a0 шаблона не требуется, поскольку
Получаем приближенное выражение функции в виде тригонометрического многочлена второго порядка (3):
,
по другому обозначим
.
Построим график функции , используя любой специальный математический пакет (см. рис. 3).
Общая погрешность при определении складывается из погрешности округления в вычислениях, погрешности формулы прямоугольников и погрешности, возникающей при отбрасывании остаточных слагаемых ряда Фурье. Однако, сравнительный анализ графиков показывает, что полученная функция аппроксимирует функцию y = f(x), а погрешность можно уменьшать, исходя из условий конкретной задачи.
Использование программы Microsoft Excel позволяет значительно упростить вычислительный процесс, находить большее число слагаемых в виде (3) и функцию y = f(x) с большей точностью.
Практическое применение метода шаблонов
Имеющиеся данные по изменению курса доллара по отношению к рублю за 2010 год
Дата | Курс | Дата | Курс | Дата | Курс | Дата | Курс |
08.12.2009 | 29,52 | 01.04.2010 | 29,4956 | 01.07.2010 | 31,2554 | 01.10.2010 | 30,51 |
09.12.2009 | 30,18 | 02.04.2010 | 29,4394 | 02.07.2010 | 31,3703 | 02.10.2010 | 30,51 |
10.12.2009 | 30,76 | 03.04.2010 | 29,2194 | 03.07.2010 | 31,1942 | 05.10.2010 | 30,50 |
11.12.2009 | 30,63 | 06.04.2010 | 29,2097 | 06.07.2010 | 31,1124 | 06.10.2010 | 30,44 |
12.12.2009 | 30,21 | 07.04.2010 | 29,2416 | 07.07.2010 | 31,1124 | 07.10.2010 | 29,89 |
15.12.2009 | 30,05 | 08.04.2010 | 29,294 | 08.07.2010 | 31,0922 | 08.10.2010 | 29,63 |
16.12.2009 | 30,07 | 09.04.2010 | 29,4003 | 09.07.2010 | 30,9479 | 09.10.2010 | 29,91 |
17.12.2009 | 30,20 | 10.04.2010 | 29,3232 | 10.07.2010 | 30,7953 | 12.10.2010 | 29,83 |
18.12.2009 | 30,44 | 13.04.2010 | 28,9428 | 13.07.2010 | 30,8823 | 13.10.2010 | 30,08 |
19.12.2009 | 30,72 | 14.04.2010 | 29,0294 | 14.07.2010 | 30,8543 | 14.10.2010 | 30,13 |
22.12.2009 | 30,55 | 15.04.2010 | 29,0444 | 15.07.2010 | 30,539 | 15.10.2010 | 29,93 |
23.12.2009 | 30,44 | 16.04.2010 | 28,931 | 16.07.2010 | 30,5619 | 16.10.2010 | 30,12 |
24.12.2009 | 30,50 | 17.04.2010 | 29,0325 | 17.07.2010 | 30,4615 | 19.10.2010 | 30,52 |
25.12.2009 | 29,93 | 20.04.2010 | 29,1969 | 20.07.2010 | 30,5739 | 20.10.2010 | 30,42 |
26.12.2009 | 29,43 | 21.04.2010 | 29,1381 | 21.07.2010 | 30,4058 | 21.10.2010 | 30,80 |
29.12.2009 | 29,60 | 22.04.2010 | 29,0906 | 22.07.2010 | 30,4059 | 22.10.2010 | 30,73 |
30.12.2009 | 29,85 | 23.04.2010 | 29,1288 | 23.07.2010 | 30,5205 | 23.10.2010 | 30,50 |
31.12.2009 | 30,24 | 24.04.2010 | 29,2743 | 24.07.2010 | 30,3839 | 26.10.2010 | 30,23 |
01.01.2010 | 30,19 | 27.04.2010 | 29,0882 | 27.07.2010 | 30,3006 | 27.10.2010 | 40,30 |
12.01.2010 | 29,43 | 28.04.2010 | 29,0623 | 28.07.2010 | 30,2391 | 28.10.2010 | 30,57 |
13.01.2010 | 29,38 | 29.04.2010 | 29,3801 | 29.07.2010 | 30,2066 | 29.10.2010 | 30,68 |
14.01.2010 | 29,64 | 30.04.2010 | 29,2886 | 30.07.2010 | 30,2173 | 30.10.2010 | 30,78 |
15.01.2010 | 29,43 | 01.05.2010 | 29,1537 | 31.07.2010 | 30,1869 | 02.11.2010 | 30,7738 |
16.01.2010 | 29,56 | 05.05.2010 | 29,2982 | 03.08.2010 | 30,1861 | 03.11.2010 | 30,7941 |
19.01.2010 | 29,60 | 06.05.2010 | 29,6812 | 04.08.2010 | 29,9681 | 04.11.2010 | 30,7709 |
20.01.2010 | 29,52 | 07.05.2010 | 30,2971 | 05.08.2010 | 29,7958 | 09.11.2010 | 30,8029 |
21.01.2010 | 29,69 | 08.05.2010 | 30,7193 | 06.08.2010 | 29,8633 | 10.11.2010 | 30,8612 |
22.01.2010 | 29,75 | 12.05.2010 | 30,3609 | 07.08.2010 | 29,8312 | 11.11.2010 | 30,6925 |
23.01.2010 | 29,75 | 13.05.2010 | 30,2048 | 10.08.2010 | 29,8186 | 12.11.2010 | 30,5107 |
26.01.2010 | 30,09 | 14.05.2010 | 29,8597 | 11.08.2010 | 30,0239 | 13.11.2010 | 30,7722 |
27.01.2010 | 30,31 | 15.05.2010 | 30,0575 | 12.08.2010 | 30,205 | 14.11.2010 | 30,8414 |
28.01.2010 | 30,29 | 18.05.2010 | 30,6986 | 13.08.2010 | 30,4493 | 16.11.2010 | 30,8632 |
29.01.2010 | 30,36 | 19.05.2010 | 30,3946 | 14.08.2010 | 30,4199 | 17.11.2010 | 31,056 |
30.01.2010 | 30,43 | 20.05.2010 | 30,6953 | 17.08.2010 | 30,5199 | 18.11.2010 | 31,3487 |
02.02.2010 | 30,40 | 21.05.2010 | 30,7523 | 18.08.2010 | 30,4514 | 19.11.2010 | 31,1999 |
03.02.2010 | 30,18 | 22.05.2010 | 31,0576 | 19.08.2010 | 30,4257 | 20.11.2010 | 30,949 |
04.02.2010 | 29,88 | 25.05.2010 | 30,8754 | 20.08.2010 | 30,4636 | 23.11.2010 | 30,995 |
05.02.2010 | 30,01 | 26.05.2010 | 31,4293 | 21.08.2010 | 30,5099 | 24.11.2010 | 31,2642 |
06.02.2010 | 30,4666 | 27.05.2010 | 31,3538 | 24.08.2010 | 30,6041 | 25.11.2010 | 31,2929 |
09.02.2010 | 30,5158 | 28.05.2010 | 30,8786 | 25.08.2010 | 30,7559 | 26.11.2010 | 31,2842 |
10.02.2010 | 30,3735 | 29.05.2010 | 30,4956 | 26.08.2010 | 30,8958 | 27.11.2010 | 31,3539 |
11.02.2010 | 30,2462 | 01.06.2010 | 30,74 | 27.08.2010 | 30,8227 | 30.11.2010 | 31,3061 |
12.02.2010 | 30,1245 | 02.06.2010 | 31,0702 | 28.08.2010 | 30,6969 | 01.12.2010 | 31,3335 |
13.02.2010 | 30,1595 | 03.06.2010 | 31,19 | 31.08.2010 | 30,664 | 02.12.2010 | 31,4555 |
16.02.2010 | 30,221 | 04.06.2010 | 30,8938 | 01.09.2010 | 30,8669 | 03.12.2010 | 31,3518 |
17.02.2010 | 30,1176 | 05.06.2010 | 31,0685 | 02.09.2010 | 30,8001 | 04.12.2010 | 31,2641 |
18.02.2010 | 29,9761 | 08.06.2010 | 31,7798 | 03.09.2010 | 30,6858 | 07.12.2010 | 31,2867 |
19.02.2010 | 30,1138 | 09.06.2010 | 31,62 | 04.09.2010 | 30,6922 | ||
20.02.2010 | 30,151 | 10.06.2010 | 31,7302 | 07.09.2010 | 30,5771 | ||
25.02.2010 | 30,0309 | 11.06.2010 | 31,5742 | 08.09.2010 | 30,7319 | ||
26.02.2010 | 30,0521 | 12.06.2010 | 31,4471 | 09.09.2010 | 30,8873 | ||
27.02.2010 | 30,0388 | 16.06.2010 | 31,4595 | 10.09.2010 | 30,8801 | ||
28.02.2010 | 29,9484 | 17.06.2010 | 31,1566 | 11.09.2010 | 30,8937 | ||
02.03.2010 | 29,93 | 18.06.2010 | 31,1854 | ||||
03.03.2010 | 29,9779 | 19.06.2010 | 30,884 | ||||
04.03.2010 | 29,814 | 22.06.2010 | 30,7267 | ||||
05.03.2010 | 29,8217 | 23.06.2010 | 30,896 | ||||
06.03.2010 | 29,8366 | 24.06.2010 | 30,9694 | ||||
10.03.2010 | 29,7499 | 25.06.2010 | 31,0149 | ||||
11.03.2010 | 29,7249 | 26.06.2010 | 31,0761 | ||||
12.03.2010 | 29,5195 | 29.06.2010 | 30,9833 | ||||
13.03.2010 | 29,3897 | 30.06.2010 | 31,1954 | ||||
16.03.2010 | 29,3353 | ||||||
17.03.2010 | 29,4242 | ||||||
18.03.2010 | 29,1927 | ||||||
19.03.2010 | 29,2223 | ||||||
20.03.2010 | 29,2565 | ||||||
23.03.2010 | 29,3389 | ||||||
24.03.2010 | 29,4707 | ||||||
25.03.2010 | 29,5764 | ||||||
26.03.2010 | 29,6572 | ||||||
27.03.2010 | 29,5142 | ||||||
30.03.2010 | 29,6309 | ||||||
31.03.2010 | 29,3638 |

Методом простой средней посчитаем средние значения для каждого месяца и заполним таблицу 3.
Дата | Курс |
январь | 31,96 |
февраль | 31,83 |
март | 31,83 |
апрель | 31,04 |
май | 30,58 |
июнь | 32,13 |
июль | 32,73 |
август | 31,87 |
сентябрь | 19,09 |
октябрь | 32,24 |
ноябрь | 32,62 |
декабрь | 31,34 |
Для наглядности приведем график полученных значений на Рис.5.

Согласно методу метода шаблонов практического гармонического анализа, расширим табл. 3 до табл.4, дополнив ее необходимыми значениями, при этом используем Excel.
xi | yi | yi cos30 | yi cos60 | ai | Знач ai |
0 | 31,96 | - | - | a0/2 | 31,87083 |
1 | 31,83 | 27,5656 | 15,915 | a1 | -0,12 |
2 | 31,83 | 27,5656 | 15,915 | b1 | -0,50 |
3 | 31,04 | - | - | a2 | 0,22 |
4 | 30,58 | 26,4831 | 15,29 | b2 | 0,19 |
5 | 32,13 | 27,8254 | 16,065 | ||
6 | 32,73 | - | - | ||
7 | 31,87 | 27,6002 | 15,935 | ||
8 | 32,28 | 27,9553 | 16,14 | ||
9 | 32,24 | - | - | ||
10 | 32,62 | 28,2497 | 16,31 | ||
11 | 31,34 | 27,1412 | 15,67 |
Используя любой математический пакет, построим график функции, отражающей тенденцию изменения курса (Рис. 6).

Таким образом, используя простейший вариант метода шаблонов практического гармонического анализа, мы построили график функции, который показывает тенденцию изменения валютного курса. Использование компьютерных технологий позволило значительно упростить решение поставленной задачи, что дает возможность выполнять расчеты с еще меньшей погрешностью, чем в приведенном случае, за счет выбора более точной формулы численного метода (взамен формулы прямоугольников) и увеличения числа слагаемых ряда Фурье. Что, безусловно, приведет к уменьшению наглядности указанного метода решения представленной задачи. Поэтому на этапе обучения показанная в данной статье реализация метода практического гармонического анализа нам представляется исключительно полезной.